Calcule cada integral a seguir:
integral-infty^infty e^i x d xx^2+4 x+5.

Passo 1

Beleza, então temos que calcular
integral-infty^infty e^i xx^2 + 4x + 5,dx
Isso é um integral impróprio no eixo real, e o método mais tranquilo é usar teorema dos resíduos em contorno de semicírculo no plano complexo. Vamos precisar de:
  1. Saber onde estão as raízes de .
  2. Decidir qual semicírculo (superior) usar, já que decai para .
  3. Calcular o resíduo do integrando no polo dentro do semicírculo superior.
  4. Aplicar o teorema dos resíduos para achar o valor da integral real.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador:
x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1
Logo as raízes (polos) são
x = -2 pm i
Destes, o polo que fica no semiplano superior (onde z0 = -2 + i ) é

Passo 3

A gente fecha o contorno no semicírculo superior porque, para e^i z = e^i x , e^-y com ,
decai exponencialmente quando . Assim, a integral no arco do semicírculo some, e o valor da integral ao longo do eixo real é vezes o resíduo em .

Passo 4

O resíduo de Resz=z0 e^i z(z+2-i)(z+2+i) = e^i z0(z0+2+i) + (z0+2-i)'hspace-2pt, em D'(z) = 2z+4, é
[
\Res_{z=z_0}
\frac{e^{i z}}{(z+2-i)(z+2+i)}

\frac{e^{i z_0}}{(z_0+2+i) + (z_0+2-i)}’\hspace{-2pt},
]
mais direto: como o denominador é Res = e^i z0D'(z0) = e^i(-2+i)2(-2+i)+4 = e^-2i,e^-1-4+2i+4 = e^-1-2i2i ,
então

Passo 5

Pelo teorema dos resíduos,
integral-infty^inftye^i xx^2+4x+5,dx = 2pi i ;times;e^-1-2i2i = pi,e^-1-2i
Se quiser desenrolar em parte real e imaginária:
pi,e^-1-2i =pi,e^-1l(cos(-2)+isin(-2)r) =pi,e^-1l(cos2 - isin2r)

Resposta

boxedpi,e^-1-2i ou pi,e^-1l(cos2 - isin2r)

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