Calcule cada integral a seguir:
.
Passo 1
Beleza, então temos que calcular
Isso é um integral impróprio no eixo real, e o método mais tranquilo é usar teorema dos resíduos em contorno de semicírculo no plano complexo. Vamos precisar de:
- Saber onde estão as raízes de
. - Decidir qual semicírculo (superior) usar, já que
decai para . - Calcular o resíduo do integrando no polo dentro do semicírculo superior.
- Aplicar o teorema dos resíduos para achar o valor da integral real.
Passo 2
Primeiro, fatoramos o denominador:
Logo as raízes (polos) são
Destes, o polo que fica no semiplano superior (onde
) é
Passo 3
A gente fecha o contorno no semicírculo superior porque, para
com
,
decai exponencialmente quando
. Assim, a integral no arco do semicírculo some, e o valor da integral ao longo do eixo real é
vezes o resíduo em
.
Passo 4
O resíduo de
em
é
[
\Res_{z=z_0}
\frac{e^{i z}}{(z+2-i)(z+2+i)}
\frac{e^{i z_0}}{(z_0+2+i) + (z_0+2-i)}’\hspace{-2pt},
]
]
mais direto: como o denominador é
,
então
Passo 5
Pelo teorema dos resíduos,
Se quiser desenrolar em parte real e imaginária: