Dado o PVI ly^prime(x)=x-4 y y(0)=1, obtenha uma aproximação com 3 casas decimais de y(1,2) usando os métodos a seguir:
Método de Euler Aperfeiçoado (ou método de Heun) com h=0,4.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos o PVI
y'(x) = x - 4,y, y(0)=1,
e precisamos achar uma aproximação de k1 &= f(xn,yn), y^* &= yn + h,k1, k2 &= f(xn + h,;y^*), yn+1 &= yn + h2(k1 + k2) usando o método de Euler Aperfeiçoado (Heun) com passo .
Conteúdo: equações diferenciais ordinárias + método numérico (Euler Aperfeiçoado).
O que vamos usar:
  • A fórmula de Heun (método de Euler Aperfeiçoado):
  • Aqui , e vamos de até em incrementos de .

Passo 2

Explicando rapidinho a teoria:
  1. Em cada passo, calculamos o “inclinão” inicial yn+1 = yn + h;k1 + k22 .
  2. Aí damos um “pulo” pra frente no tempo usando , obtendo o valor provisório .
  3. Calculamos outro “inclinão” .
  4. Em vez de usar só , fazemos uma média e avançamos:
Isso melhora bastante em comparação ao Euler simples, porque captura variação dentro do passo.

Passo 3

Vamos do ponto y1 = 1 + 0.42(-4 + 2.8) = 1 + 0.2cdot(-1.2) = 1 - 0.24 = 0.76 , até :
  • .
  • Preditor: .
  • .
  • Corrigido:

Passo 4

Agora de y2 = 0.76 + 0.2,(-2.64 + 1.984) = 0.76 + 0.2cdot(-0.656) = 0.76 - 0.1312 = 0.6288 , até :
  • .
  • .
  • .

Passo 5

Finalmente de y3 = 0.6288 + 0.2,(-1.7152 + 1.42912) = 0.6288 + 0.2cdot(-0.28608) = 0.6288 - 0.057216 = 0.571584 , até :
  • .
  • .
  • .

Resposta

Aproximando com três casas decimais,
y(1.2) approx 0.572

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