Dado o PVI ly^prime(x)=x-4 y y(0)=1, obtenha uma aproximação com 3 casas decimais de y(1,2) usando os métodos a seguir:
Método de Runge-Kutta de 3^ a ordem com h=0,6.

Passo 1

Tranquilo! O enunciado diz que temos o problema de valor inicial (PVI)
y'(x) = x - 4,y(x), y(0)=1,
e quer uma aproximação de usando o método de Runge–Kutta de 3ª ordem com passo .
Conteúdo envolvido: PVI, fluxo de integração numérica e fórmula de Runge–Kutta 3. Vamos precisar:
  1. Definir .
  2. Saber a fórmula dos .
  3. Fazer duas iterações (porque ).

Passo 2

O método de Runge–Kutta de 3ª ordem que a gente vai usar é:
Para cada passo k1 &= f(xn,yn), k2 &= fl(xn + tfrach2,,yn + tfrach2,k1r), k3 &= fl(xn + h,,yn - h,k1 + 2h,k2r), com tamanho yn+1 = yn + h6,l(k1 + 4,k2 + k3r) , calcula-se
e então
Aqui . Vamos aplicar isso duas vezes, de até .

Passo 3

1ª iteração ( k1 &= f(0,1)=0-4cdot1=-4, k2 &= fl(0.3,;1+tfrac0.62(-4)r) =f(0.3,-0.2) =0.3-4(-0.2)=1.1, k3 &= fl(0.6,;1-0.6(-4)+2cdot0.6cdot1.1r) =f(0.6,,4.72) =0.6-4cdot4.72=-18.28 , y1 = 1 + 0.66l(-4 + 4cdot1.1 + (-18.28)r) =1 + 0.66,(-17.88) =1 - 1.788 =-0.788 ):
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Passo 4

2ª iteração ( k1 &= f(0.6,-0.788) =0.6-4(-0.788) =3.752, k2 &= fl(0.9,;-0.788+tfrac0.62,3.752r) =f(0.9,,0.3376) =0.9-4(0.3376) =-0.4504, k3 &= fl(1.2,;-0.788-0.6cdot3.752+2cdot0.6cdot(-0.4504)r) =f(1.2,,-3.57968) =1.2-4(-3.57968) =15.51872 , y2 = -0.788 + 0.66l(3.752 + 4(-0.4504) + 15.51872r) =-0.788 + 1.746912 =0.958912 ):
Agora

Resposta

Aproximação de boxedy(1.2)approx0.959 com 3 casas decimais usando Runge–Kutta de 3ª ordem é

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