Calcule cada integral a seguir:
.
Passo 1
Beleza, o exercício pede para calcular a integral imprópria
Isso faz parte de Análise Complexa: vamos usar o Teorema dos Resíduos. Precisamos conhecer
- como escolher um contorno no plano complexo,
- identificar e classificar polos (aqui são polos de ordem 2),
- calcular resíduos em polos de segunda ordem,
- aplicar o teorema e mandar o raio do semicírculo para ∞.
Passo 2
Definimos a função complexa
Os polos vêm de
, ou seja
Destes quatro, dois ficam no semiplano superior:
Cada um é polo de ordem 2 (porque o denominador está ao quadrado).
Passo 3
Residuo em polo de ordem 2: se
é polo duplo de
, então
Para facilitar, note que perto de
podemos escrever
com
. Então um cálculo de série mostra que
onde
e
.
Passo 4
Aplicando em cada polo:
Para :
Para
Mas como
, temos
,
então . Logo
então
De modo análogo em
achamos
.
.
Passo 5
Somando os resíduos do semiplano superior:
Pelo Teorema dos Resíduos, a integral no eixo real é