Calcule cada integral a seguir:
integral-infty^infty d x(x^4+1)^2.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular a integral imprópria
I ;=;integral-infty^infty dxl(x^4+1r)^2
Isso faz parte de Análise Complexa: vamos usar o Teorema dos Resíduos. Precisamos conhecer
  1. como escolher um contorno no plano complexo,
  2. identificar e classificar polos (aqui são polos de ordem 2),
  3. calcular resíduos em polos de segunda ordem,
  4. aplicar o teorema e mandar o raio do semicírculo para ∞.

Passo 2

Definimos a função complexa
f(z)=1l(z^4+1r)^2
Os polos vêm de zk = e^i(pi/4 + kpi/2), k=0,1,2,3 , ou seja
z1 = e^ipi/4=1+iraiz2, z2 = e^i3pi/4=-1+iraiz2
Destes quatro, dois ficam no semiplano superior:
Cada um é polo de ordem 2 (porque o denominador está ao quadrado).

Passo 3

Residuo em polo de ordem 2: se Res(f,z0) =limzto z0ddzl[(z-z0)^2,f(z)r] =limzto z0ddz(z-z0)^2(z^4+1)^2 é polo duplo de z^4+1 = g'(z0),(z-z0) + tfrac12,g''(z0),(z-z0)^2+cdots, , então
Para facilitar, note que perto de Res(f,z0) =-g''(z0)l[g'(z0)r]^3, podemos escrever
com . Então um cálculo de série mostra que
onde e .

Passo 4

Aplicando em cada polo:
Para g'(z1)=4z1^3, g''(z1)=12z1^2 ;Longrightarrow; Res(f,z1)=-12z1^2(4z1^3)^3 =-316,z1^7 :
Mas como Res(f,z1)=-316,z1 , temos ,
então . Logo
De modo análogo em achamos
.

Passo 5

Somando os resíduos do semiplano superior:
Pelo Teorema dos Resíduos, a integral no eixo real é

Resposta

boxed integral-infty^inftydx(x^4+1)^2 =3piraiz28 (ou também 3pi4raiz2) é

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