Calcule cada integral a seguir:
.
Passo 1
Beleza, o exercício pede para calcular a integral imprópria
Conteúdo envolvido: integrais impróprias, função Beta e relação com a função Gama (Γ), além de usar a simetria de funções pares. Vamos precisar entender
- como usar que a integral de –∞ a ∞ de uma função par é o dobro de 0 a ∞,
- a definição da função Beta
e sua relação com Γ via
- a fórmula de reflexão
.
Passo 2
Repare que
é função par (ou seja,
). Logo
Passo 3
Para calcular
, fazemos a troca
. Então
Comparando com a definição da Beta, vemos que
Passo 4
Agora usamos a reflexão
para
:
Como
, temos
Então a integral de –∞ a ∞ é