Calcule cada integral a seguir:
integral-infty^infty 1x^6+1 d x.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular a integral imprópria
integral-infty^infty1x^6+1,dx
Conteúdo envolvido: integrais impróprias, função Beta e relação com a função Gama (Γ), além de usar a simetria de funções pares. Vamos precisar entender
  1. como usar que a integral de –∞ a ∞ de uma função par é o dobro de 0 a ∞,
  2. a definição da função Beta
B(p,q)=integral0^inftyt^p-1(1+t)^p+q,dt
e sua relação com Γ via
B(p,q)=Gamma(p),Gamma(q)Gamma(p+q),
  1. a fórmula de reflexão
    .

Passo 2

Repare que integral-infty^infty1x^6+1,dx =2integral0^infty1x^6+1,dx é função par (ou seja, ). Logo

Passo 3

Para calcular I=integral0^infty1,1+t,;16,t^-5/6,dt =16integral0^inftyt^(1/6)-1(1+t)^(1/6)+(5/6),dt , fazemos a troca I=16;B!l(tfrac16,tfrac56r) =16;Gamma(tfrac16),Gamma(tfrac56)Gamma(1) . Então
Comparando com a definição da Beta, vemos que

Passo 4

Agora usamos a reflexão Gammal(tfrac16r),Gammal(1-tfrac16r) =Gammal(tfrac16r),Gammal(tfrac56r) =pisin(pi/6)=pi1/2=2pi para I=16cdot 2pi=pi3 :
2I=2;pi3=2pi3
Como , temos
Então a integral de –∞ a ∞ é

Resposta

boxedintegral-infty^infty1x^6+1,dx=2pi3

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