Calcule cada integral a seguir:
integral-infty^infty x^2 d xx^4+1.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular a integral imprópria
integral-infty^infty x^2x^4+1,dx
Conteúdo:
  • Integrais impróprias (limites infinitos)
  • Funções racionais e decomposição em frações parciais
  • Integrais básicas: integral dxx^2+a^2 e integral x,dxx^2+b x +c via completar quadrado
O que vamos precisar:
  1. Verificar se a função é par ou ímpar para simplificar o intervalo.
  2. Decompor x^2x^4+1 em frações parciais.
  3. Integrar cada pedaço usando completar quadrado e a fórmula de arctan.
  4. Avaliar os limites em pminfty.

Passo 2

Primeiro, observe que a função
f(x)=x^2x^4+1
é par, porque trocar x por -x não altera nem o numerador ( (-x)^2=x^2) nem o denominador (( -x)^4=x^4).
Para funções pares vale
integral-infty^infty f(x),dx =2integral0^infty f(x),dx
Logo
I =integral-infty^inftyx^2x^4+1,dx =2integral0^inftyx^2x^4+1,dx

Passo 3

Agora fazemos frações parciais em
x^2x^4+1 sabendo que x^4+1=(x^2+raiz2x+1)(x^2-raiz2x+1)
Procuramos constantes A,B,C,D tais que
x^2x^4+1 =Ax+Bx^2+raiz2 x+1 +Cx+Dx^2-raiz2 x+1
Multiplicando ambos os lados por x^4+1 e igualando coeficientes, acha-se (detalhes de cálculo dispensáveis aqui)
A=-12raiz2, B=0, C= 12raiz2, D=0
Logo
x^2x^4+1 =-12raiz2,xx^2+raiz2 x+1 +12raiz2,xx^2-raiz2 x+1

Passo 4

Precisamos integrar de 0 a infty cada termo
integralxx^2pmraiz2 x+1,dx
Para isso, completamos o quadrado em cada denominador. Exemplo para o “ +”:
x^2+raiz2 x+1 =l(x+tfracraiz22r)^2+tfrac12
Defina t=x+tfracraiz22, então dx=dt e x=t-tfracraiz22.
O integrando vira
xx^2+raiz2 x+1,dx =t-tfracraiz22t^2+tfrac12,dt =tt^2+a^2,dt-raiz2/2t^2+a^2,dt,
com a^2=tfrac12.
Sabendo-se que
integraltt^2+a^2,dt=tfrac12ln(t^2+a^2), integraldtt^2+a^2=1aarctan!l(t/ar),
chegamos a uma primitiva contendo
tfrac12ln(dots) e -arctan!l(raiz2,tr).
Analogamente no caso do “ -” aparece
tfrac12ln(dots)+arctan!l(raiz2,t'r),
onde t'=x-tfracraiz22.

Passo 5

Ao avaliar de 0 até infty, as partes de ln(dots) se cancelam (porque para xtoinfty ambas viram ln(x^2)+dots).
O que sobra é a parte de arctan:
  • Para xto+infty, cada arctan(raiz2,t)topmpi2.
  • Para x=0, você substitui e vê que o resultado inicial dá zero.
Fazendo as contas (com os coeficientes A e C) dá
integral0^inftyx^2x^4+1,dx =pi2raiz2
Lembrando o fator 2 lá do Passo 2, ficamos com
I=2cdotpi2raiz2 =piraiz2

Resposta

boxedintegral-infty^inftyx^2x^4+1,dx =piraiz2

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