Calcule cada integral a seguir:
.
Passo 1
Beleza, o exercício pede para calcular a integral imprópria
Conteúdo:
- Integrais impróprias (limites infinitos)
- Funções racionais e decomposição em frações parciais
- Integrais básicas:
e via completar quadrado
O que vamos precisar:
- Verificar se a função é par ou ímpar para simplificar o intervalo.
- Decompor
em frações parciais. - Integrar cada pedaço usando completar quadrado e a fórmula de arctan.
- Avaliar os limites em
.
Passo 2
Primeiro, observe que a função
é par, porque trocar
por
não altera nem o numerador (
) nem o denominador ((
).
Para funções pares vale
Para funções pares vale
Logo
Passo 3
Agora fazemos frações parciais em
Procuramos constantes
tais que
Multiplicando ambos os lados por
e igualando coeficientes, acha-se (detalhes de cálculo dispensáveis aqui)
Logo
Passo 4
Precisamos integrar de
a
cada termo
Para isso, completamos o quadrado em cada denominador. Exemplo para o “
”:
Defina
, então
e
.
O integrando vira
O integrando vira
com
.
Sabendo-se que
Sabendo-se que
chegamos a uma primitiva contendo
e
.
Analogamente no caso do “ ” aparece
Analogamente no caso do “
onde
.
Passo 5
Ao avaliar de
até
, as partes de
se cancelam (porque para
ambas viram
).
O que sobra é a parte de :
O que sobra é a parte de
- Para
, cada . - Para
, você substitui e vê que o resultado inicial dá zero.
Fazendo as contas (com os coeficientes
e
) dá
Lembrando o fator 2 lá do Passo 2, ficamos com