Calcule cada integral a seguir:
integral0^infty d xx^6+9^2.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente calcular a integral imprópria
integral0^infty dxx^6 + 9^2,
que é a mesma coisa que
integral0^infty dxx^6 + 81
O conteúdo aqui é: integrais impróprias e uso de substituição pra encaixar numa forma padrão que a gente conhece (aquela integral de integral0^inftydu1+u^n =pin,sinl(pinr), ). Mais pra frente a gente vai usar também a fórmula
no nosso caso com .

Passo 2

Primeiro passo de verdade: vamos escrever
x^6 + 81 = x^6 + a^6
e identificar a = 81^1/6 = l(3^4r)^1/6 = 3^4/6 = 3^2/3 . Como u = xa = x3^2/3 Longrightarrow x = a,u, dx = a,du , temos
Então dá pra fazer a substituição

Passo 3

Substituindo na integral original:
integral0^inftydxx^6+81 =integral0^inftya,du(a,u)^6 + a^6 =integral0^inftya,dua^6l(u^6+1r) =aa^6integral0^inftyduu^6+1 =1a^5integral0^inftyduu^6+1
Note que .

Passo 4

Agora usamos a fórmula padrão (que vem da função Beta ou da combinação de Gamma):
integral0^inftydu1+u^6 =pi6,sin!l(tfracpi6r)
Como integral0^inftydu1+u^6 =pi6cdot tfrac12 =pi3 , isso dá
1a^5cdot pi3 =pi3,a^5 =pi3cdot 3^10/3 =pi3^1 + 10/3 =pi3^13/3
Logo a nossa integral vira

Resposta

boxed integral0^inftydxx^6+9^2 ;=; pi3^13/3 ;=; pi81,raiz[,3]3

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