Calcule cada integral a seguir:
integral-infty^infty x^2 d xx^4+x^2+1.

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral imprópria
integral-infty^infty x^2,dxx^4 + x^2 + 1
Isso é assunto de Cálculo Integral, mais especificamente de integrais impróprias de funções racionais. Para resolver a gente vai usar:
  1. simetria da função (é par),
  2. mudança de variável para criar duas integrais iguais,
  3. soma de integrais e frações parciais + arctan para avaliar.

Passo 2

Primeiro, note que a função
f(x)=x^2x^4+x^2+1
é par, ou seja integral-infty^infty f(x),dx =2integral0^infty x^2x^4+x^2+1,dx . Então
I=integral0^inftyx^2x^4+x^2+1,dx, J=integral0^infty1x^4+x^2+1,dx,
Definimos
para usar uma técnica de simetria depois.

Passo 3

Vamos mostrar que I =integral0^inftyx^2x^4+x^2+1,dx =integralinfty^0 tfrac1u^2tfrac1u^4+tfrac1u^2+1, l(-duu^2r) =integral0^inftyduu^4+u^2+1 =J . Fazemos a troca . Então e
Logo .

Passo 4

Agora somamos:
I+J =integral0^inftyx^2+1x^4+x^2+1,dx
Perceba que
x^2+1x^4+x^2+1 =12l(1x^2+x+1+1x^2-x+1r)
Isso é fração parcial: basta conferir que
I+J =12integral0^inftydxx^2+x+1 +12integral0^inftydxx^2-x+1 .
Então
integral0^inftydxx^2+x+1 =2raiz3l[arctan2x+1raiz3r]0^infty =2raiz3l(tfracpi2-tfracpi6r) =2pi3raiz3
Cada integral é do tipo integral0^inftydxx^2-x+1 =4pi3raiz3 , que dá arctan.
Por exemplo, para I+J =12l(2pi3raiz3+4pi3raiz3r) =piraiz3 ,
2I = I+J = piraiz3 Longrightarrow I=pi2raiz3
Para dá resultado parecido:
Somando e dividindo por 2:
Mas como , temos

Resposta

integral-infty^inftyx^2,dxx^4+x^2+1 =2I =2cdotpi2raiz3 =boxedpiraiz3

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