Calcule cada integral a seguir:
.
Passo 1
Beleza, temos que calcular a integral imprópria
Isso é assunto de Cálculo Integral, mais especificamente de integrais impróprias de funções racionais. Para resolver a gente vai usar:
- simetria da função (é par),
- mudança de variável
para criar duas integrais iguais, - soma de integrais e frações parciais + arctan para avaliar.
Passo 2
Primeiro, note que a função
é par, ou seja
. Então
Definimos
para usar uma técnica de simetria depois.
Passo 3
Vamos mostrar que
. Fazemos a troca
. Então
e
Logo
.
Passo 4
Agora somamos:
Perceba que
Isso é fração parcial: basta conferir que
.
Então
Cada integral é do tipo
, que dá arctan.
Por exemplo, para ,
Por exemplo, para
Para
dá resultado parecido:
Somando e dividindo por 2:
Mas como
, temos