Calcule cada integral a seguir:
.
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é a integral imprópria
Isso entra na parte de integrais impróprias e uso de transformada de Fourier (ou técnica de completar quadrado + fórmulas conhecidas). Vamos precisar:
- Completar o quadrado em
. - Fazer uma mudança de variável para centralizar o denominador.
- Usar a fórmula padrão
Passo 2
Primeiro completa o quadrado no denominador:
Isso deixa o denominador numa forma bem mais amigável, parecida com
.
Passo 3
Agora faz a troca de variável
A integral vira
Passo 4
Usa a fórmula de ângulo da função cosseno:
Então
Passo 5
Repara que
é função ímpar e o intervalo é simétrico
, então
Fica só o termo com
.
Passo 6
Agora usamos a fórmula conhecida (que pode ser obtida por transformada de Fourier ou método de resíduos):
Logo a integral original vale