Calcule cada integral a seguir:
integral-infty^infty cos x d xx^2+4 x+5.

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é a integral imprópria
integral-infty^infty cos xx^2 + 4x + 5,dx
Isso entra na parte de integrais impróprias e uso de transformada de Fourier (ou técnica de completar quadrado + fórmulas conhecidas). Vamos precisar:
  1. Completar o quadrado em .
  2. Fazer uma mudança de variável para centralizar o denominador.
  3. Usar a fórmula padrão

Passo 2

Primeiro completa o quadrado no denominador:
x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1
Isso deixa o denominador numa forma bem mais amigável, parecida com .

Passo 3

Agora faz a troca de variável
t = x + 2 Longrightarrow x = t - 2, dx = dt
A integral vira
integral-infty^infty cos x(x+2)^2+1,dx = integral-infty^infty cos(t-2)t^2+1,dt

Passo 4

Usa a fórmula de ângulo da função cosseno:
cos(t-2) = cos tcos2 + sin tsin2
Então
integral-infty^inftycos(t-2)t^2+1,dt = cos2integral-infty^inftycos tt^2+1,dt ;+;sin2integral-infty^inftysin tt^2+1,dt

Passo 5

Repara que integral-infty^inftysin tt^2+1,dt = 0 é função ímpar e o intervalo é simétrico , então
Fica só o termo com .

Passo 6

Agora usamos a fórmula conhecida (que pode ser obtida por transformada de Fourier ou método de resíduos):
integral-infty^inftycos tt^2+1,dt = pi e^-1
Logo a integral original vale
cos2 ;times; pi e^-1

Resposta

boxedintegral-infty^inftycos xx^2+4x+5,dx = pi e^-1cos 2

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