Resolva o seguinte sistema, utilizando o método de Gauss-Jacobi, considerando
e
.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que temos:
• Enunciado resumido: Resolver o sistema
• Enunciado resumido: Resolver o sistema
usando o método de Gauss–Jacobi, com chute inicial
e tolerância
.
• Conteúdo: método iterativo de Jacobi para sistemas lineares.
• O que vamos precisar:
- Verificar convergência (a matriz é estritamente diagonal dominante, logo converge).
- Escrever a fórmula de iteração de Jacobi isolando cada variável.
- Iterar até que
.
Passo 2
Primeiro, isolamos cada
x1 = 7 + x2 - x34, x2 = 4 - x1 + x33, x3 = 6 - x1 + x25 nas equações:
Essas são as fórmulas de iteração de Jacobi. Com
, calculamos
:
Logo,
.
Passo 3
Agora
x1^(2) &= 7 + x2^(1) - x3^(1)4 = 7 + 1.3333 - 1.24 = 1.783333, x2^(2) &= 4 - 1.75 + 1.23 = 1.15, x3^(2) &= 6 - 1.75 + 1.33335 = 1.116667 :
Diferença infinita
.
Ainda não convergiu, seguimos.
Ainda não convergiu, seguimos.
Passo 4
Iteração
x1^(3) &= 7 + 1.15 - 1.1166674 = 1.7583335, x2^(3) &= 4 - 1.783333 + 1.1166673 = 1.111111, x3^(3) &= 6 - 1.783333 + 1.155 = 1.0733334 :
Passo 5
Iteração
x1^(4) &= 1.7594444, x2^(4) = 1.105, x3^(4) = 1.0705555, |x^(4)-x^(3)|infty &= 0.001111 >10^-4 :
Ainda não.
Passo 6
Iteração
x1^(5) &=1.7586111, x2^(5) =1.1037037, x3^(5) =1.0691111, |x^(5)-x^(4)|infty &=0.001444>10^-4 :
Passo 7
Iteração
x1^(6) &=1.7586481, x2^(6) =1.1035000, x3^(6) =1.0690185, |x^(6)-x^(5)|infty &=0.0002037>10^-4 :
Passo 8
Iteração
x1^(7) &=1.7586204, x2^(7) &=1.1034568, x3^(7) &=1.0689704, |x^(7)-x^(6)|infty &=0.0000431<10^-4 :
Finalmente a diferença máxima caiu abaixo de
. Convergiu!
Resposta
A solução aproximada pelo método de Gauss–Jacobi é