Resolva o seguinte sistema, utilizando o método de Gauss-Jacobi, considerando x^(0)=(0,0,0) e epsilon=10^-4.
l 4 x1-x2+x3=7 x1+3 x2-x3=4 x1-x2+5 x3=6

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que temos:
• Enunciado resumido: Resolver o sistema
4x1 - x2 + x3 = 7, x1 + 3x2 - x3 = 4, x1 - x2 + 5x3 = 6
usando o método de Gauss–Jacobi, com chute inicial e tolerância .
• Conteúdo: método iterativo de Jacobi para sistemas lineares.
• O que vamos precisar:
  1. Verificar convergência (a matriz é estritamente diagonal dominante, logo converge).
  2. Escrever a fórmula de iteração de Jacobi isolando cada variável.
  3. Iterar até que .

Passo 2

Primeiro, isolamos cada x1 = 7 + x2 - x34, x2 = 4 - x1 + x33, x3 = 6 - x1 + x25 nas equações:
x1^(1) &= 7 + 0 - 04 = 1.75, x2^(1) &= 4 - 0 + 03 = 1.3333ldots, x3^(1) &= 6 - 0 + 05 = 1.2
Essas são as fórmulas de iteração de Jacobi. Com , calculamos :
Logo, .

Passo 3

Agora x1^(2) &= 7 + x2^(1) - x3^(1)4 = 7 + 1.3333 - 1.24 = 1.783333, x2^(2) &= 4 - 1.75 + 1.23 = 1.15, x3^(2) &= 6 - 1.75 + 1.33335 = 1.116667 :
Diferença infinita .
Ainda não convergiu, seguimos.

Passo 4

Iteração x1^(3) &= 7 + 1.15 - 1.1166674 = 1.7583335, x2^(3) &= 4 - 1.783333 + 1.1166673 = 1.111111, x3^(3) &= 6 - 1.783333 + 1.155 = 1.0733334 :
. Continua!

Passo 5

Iteração x1^(4) &= 1.7594444, x2^(4) = 1.105, x3^(4) = 1.0705555, |x^(4)-x^(3)|infty &= 0.001111 >10^-4 :
Ainda não.

Passo 6

Iteração x1^(5) &=1.7586111, x2^(5) =1.1037037, x3^(5) =1.0691111, |x^(5)-x^(4)|infty &=0.001444>10^-4 :

Passo 7

Iteração x1^(6) &=1.7586481, x2^(6) =1.1035000, x3^(6) =1.0690185, |x^(6)-x^(5)|infty &=0.0002037>10^-4 :

Passo 8

Iteração x1^(7) &=1.7586204, x2^(7) &=1.1034568, x3^(7) &=1.0689704, |x^(7)-x^(6)|infty &=0.0000431<10^-4 :
Finalmente a diferença máxima caiu abaixo de . Convergiu!

Resposta

A solução aproximada pelo método de Gauss–Jacobi é
boxedx approx (1.7586,;1.1035,;1.0690)

Exercícios relacionados