Calcule cada integral a seguir:
integral-infty^infty e^i xx^2+1 d x.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular
integral-infty^inftye^i xx^2+1,dx,
Matéria envolvida: integrais impróprias de funções complexas e o Teorema dos Resíduos (análise complexa).
O que vamos precisar:
1) Montar um contorno no plano complexo (semicírculo no semiplano superior) porque o expo­nencial e^iz decai lá se a parte imaginária de z for positiva.
2) O Lema de Jordan, que garante que a parte do contorno “curvo” some quando o raio vai a infinito.
3) O Teorema dos Resíduos para relacionar a integral no contorno à soma dos resíduos dos polos que ficam dentro dele.

Passo 2

Definimos a função de variável complexa
f(z)=e^i zz^2+1,
Repare que f tem polos simples em z=i e em z=-i. Como estamos tomando o semicírculo no semiplano superior (imaginária positiva), só capturamos o polo em z=i.

Passo 3

Calculando o resíduo de f em z=i:

Passo 4

Pelo Teorema dos Resíduos, a integral ao longo do contorno (reta real + arco) é

Mas, pelo Lema de Jordan, a parte sobre o arco gigante tende a zero quando o raio vai a ointcontornof(z),dz ;=;2pi i;Res(f,i);=;2pi i;e^-12i;=;pi,e^-1, . Logo sobra exatamente a integral na reta real:
infty

Resposta

boxedintegral-infty^inftye^i xx^2+1,dx=pi,e^-1,

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