Calcule cada integral a seguir:
.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos calcular
Matéria envolvida: integrais impróprias de funções complexas e o Teorema dos Resíduos (análise complexa).
O que vamos precisar:
1) Montar um contorno no plano complexo (semicírculo no semiplano superior) porque o exponencial
2) O Lema de Jordan, que garante que a parte do contorno “curvo” some quando o raio vai a infinito.
3) O Teorema dos Resíduos para relacionar a integral no contorno à soma dos resíduos dos polos que ficam dentro dele.
Passo 2
Definimos a função de variável complexa
Repare que
Passo 3
Calculando o resíduo de
em
:
Passo 4
Pelo Teorema dos Resíduos, a integral ao longo do contorno (reta real + arco) é
Mas, pelo Lema de Jordan, a parte sobre o arco gigante tende a zero quando o raio vai a