Calcule cada integral a seguir:
integral-pi^pi cos theta d theta5+4 cos theta.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular a integral
integral-pi^pi costheta;dtheta5+4costheta
Isso é uma integral definida envolvendo funções trigonométricas. Para resolver a gente vai usar:
  1. o fato de ser função par (isso ajuda a simplificar a região de integração);
  2. uma fórmula clássica de integrais do tipo
    e como derivar a versão com no numerador.

Passo 2

Primeiro, nota rápida: a função é periódica e par, então
integral-pi^picostheta5+4costhetadtheta =integral0^2picostheta5+4costhetadtheta
Isso simplifica porque já temos uma fórmula padrão para integrar de a .

Passo 3

Vamos usar a seguinte teoria: para constantes J(a,b) ;=;integral0^2pidthetaa+bcostheta ;=;2piraiza^2-b^2 vale
I(a,b);=;integral0^2picosthetaa+bcostheta,dtheta
Agora, defina também
a,J(a,b) =integral0^2piaa+bcostheta,dtheta =integral0^2pia+bcosthetaa+bcostheta,dtheta ;-;b,I(a,b) =2pi - b,I(a,b)
Repare que
b,I(a,b) ;=;2pi - a,J(a,b) ;=;2pi - a;2piraiza^2-b^2 ;Longrightarrow; I(a,b) =2pibl(1-araiza^2-b^2r)
Daí isolamos :

Passo 4

No nosso caso raiza^2 - b^2 = raiz25-16=3, e I(5,4) =integral0^2picostheta5+4costheta,dtheta =2pi4l(1-53r) =pi2l(-23r) =-pi3 . Então
e
Como vimos no Passo 2, essa é exatamente a mesma integral de a .

Resposta

boxed-pi3

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