Calcule cada integral a seguir:
integral0^2 pi d theta5-3 sin theta.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente calcular a integral
I=integral0^2pidtheta5-3sintheta
Isso cai em Cálculo de integrais de funções trigonométricas periódicas. Para resolver, a gente vai usar uma técnica padrão (que nasce da substituição integral0^2pidthetaa + bsintheta, ) e um resultado conhecido para integrais do tipo
com .

Passo 2

Existe um teorema que diz:
Se integral0^2pidthetaa + bsintheta =2piraiza^2 - b^2 , então
Esse resultado vem de duas ideias principais:
  1. a substituição de Weierstrass , que transforma e em funções racionais de ,
  2. a resolução da integral racional resultante por frações parciais.
    Não vamos reproduzir todo o cálculo (é meio longo), mas o ponto é que, desde que , chegamos a essa fórmula bonita acima.

Passo 3

No nosso caso o denominador é a = 5, b = -3 (logo |b|=3<5=a) , ou seja,
I =integral0^2pidtheta5-3sintheta =2piraiz5^2 - (-3)^2 =2piraiz25 - 9 =2pi4 =pi2
Aplicando o teorema:

Resposta

boxedpi2

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