Calcule cada integral a seguir:
integral0^infty sin x d x(x^2+a^2)(x^2+b^2), a, b in R.

Passo 1

Resumo do enunciado: calcular
I = integral0^infty sin x(x^2 + a^2)(x^2 + b^2),dx,
onde integral0^inftysin xx^2 + c^2,dx = pi2c,e^-c(c>0) .
Conteúdo envolvido: integrais impróprias, frações parciais e uso de um resultado padrão
Vamos precisar:
  1. dividir a função em frações parciais;
  2. lembrar o resultado acima;
  3. subtrair os dois termos resultantes.

Passo 2

Fazemos frações parciais:
1(x^2+a^2)(x^2+b^2) =1b^2 - a^2l(1x^2 + a^2-1x^2 + b^2r),
desde que I=integral0^inftysin x(x^2+a^2)(x^2+b^2),dx =1b^2 - a^2l( underbraceintegral0^inftysin xx^2 + a^2,dxIa - underbraceintegral0^inftysin xx^2 + b^2,dxIb r) . Assim
[
I=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{(x2+a2)(x2+b2)},dx
=\frac{1}{b^2 - a^2}\Bigl(
\underbrace{\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x^2 + a^2},dx}_{I_a}

\underbrace{\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x^2 + b^2},dx}_{I_b}
\Bigr).
]

Passo 3

Agora aplicamos o resultado padrão: para integral0^inftysin xx^2 + c^2,dx = pi2c,e^-c ,
Ia = pi2ae^-a, Ib = pi2be^-b
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I = 1b^2 - a^2l(pi2ae^-a - pi2be^-br) = pi2(b^2 - a^2)l(e^-aa - e^-bbr)
Substituindo em :

Resposta

boxed integral0^inftysin x(x^2 + a^2)(x^2 + b^2),dx = pi2(b^2 - a^2)l(e^-aa - e^-bbr)

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