Calcule cada integral a seguir:
.
Passo 1
Resumo do enunciado: calcular
onde
.
Conteúdo envolvido: integrais impróprias, frações parciais e uso de um resultado padrão
Conteúdo envolvido: integrais impróprias, frações parciais e uso de um resultado padrão
Vamos precisar:
- dividir a função em frações parciais;
- lembrar o resultado acima;
- subtrair os dois termos resultantes.
Passo 2
Fazemos frações parciais:
desde que
. Assim
[
I=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{(x2+a2)(x2+b2)},dx
=\frac{1}{b^2 - a^2}\Bigl(
\underbrace{\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x^2 + a^2},dx}_{I_a}
\underbrace{\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x^2 + b^2},dx}_{I_b}
\Bigr).
]
\Bigr).
]
Passo 3
Agora aplicamos o resultado padrão: para
,
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Substituindo em
: