Calcule cada integral a seguir:
integral0^pi d theta4-cos theta.

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é a integral
integral0^pidtheta4-costheta
Isso é um problema de Cálculo (integrais de funções trigonométricas). Pra resolver sem dar nó na cabeça, a gente vai usar a substituição do tângen­te meio-ângulo, também chamada de Weierstrass:
t = tantheta2,
além da fórmula básica
integral dxx^2+a^2 = 1aarctan!l( xar) + C
Isso já é o que precisamos para atacar a integral de fato.

Passo 2

Vamos à substituição passo a passo. Defina
t = tantheta2
Duas coisas importantes:
  1. 4 - costheta = 4 - 1-t^21+t^2 = 4(1+t^2)-(1-t^2)1+t^2 = 3 + 5t^21+t^2
  2. dtheta4-costheta = tfrac2,dt1+t^2tfrac3+5t^21+t^2 = 2,dt3+5t^2
Com isso, o denominador vira
integral0^pidtheta4-costheta = integral0^infty2,dt3+5t^2
E o numerador é . Então o integrando todo fica
Agora é só trocar os limites:
  • .
  • .
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Passo 3

Para resolver
integral0^infty2,dt3+5t^2,
a gente puxa a constante fora e escreve no formato padrão integral0^infty2,dt5t^2+3 = 25integral0^inftydtt^2 + tfrac35 :
integral0^inftydtt^2 + a^2 = 1al[arctan tar]0^infty = 1a cdot pi2,
Aqui 25cdot 1raiz3/5cdot pi2 = 25cdot pi2raiz3/5 = pi5raiz3/5 , então . Pela fórmula
ficamos com

Passo 4

Só falta simplificar 5raiztfrac35 =5raiz3raiz5 =5raiz3raiz5 =raiz5,raiz3 =raiz15 :
pi5raiz3/5 =piraiz15
Então

Resposta

boxedintegral0^pidtheta4-costheta ;=;piraiz15

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