Calcule cada integral a seguir:
integral0^infty cos x d x(x^2+a^2)(x^2+b^2), a, b in R.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra calcular a integral imprópria
integral0^inftycos x(x^2+a^2)(x^2+b^2),dx,
com .
Conteúdo: vamos usar frações parciais e uma fórmula padrão de integrais do tipo
.

Passo 2

Primeiro, decompomos a função em frações parciais. Note que
1(x^2+a^2)(x^2+b^2) =1b^2-a^2l(1x^2+a^2-1x^2+b^2r),
desde que . Isso serve pra separar a integral em duas mais simples.

Passo 3

Agora escrevemos a integral como a diferença de duas:
I =integral0^inftycos x(x^2+a^2)(x^2+b^2)dx =1b^2-a^2l( integral0^inftycos xx^2+a^2dx -integral0^inftycos xx^2+b^2dx r)
Ou seja, quebramos assim pra aplicar uma fórmula conhecida.

Passo 4

A fórmula padrão é
integral0^inftycos(px)x^2+c^2,dx =pi2ce^-c p,
para integral0^inftycos xx^2+a^2dx =pi2ae^-a, integral0^inftycos xx^2+b^2dx =pi2be^-b e I =1b^2-a^2l(pi2ae^-a-pi2be^-br) =pi2,(b^2-a^2)l(e^-aa-e^-bbr) . No nosso caso, .
Então
Substituindo em :

Resposta

boxed integral0^inftycos x(x^2+a^2)(x^2+b^2),dx =pi2,(b^2-a^2)l(e^-aa-e^-bbr), aneq b

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