Calcule cada integral a seguir:
integral0^infty x senxdx(x^2+1)^2.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente calcular a integral imprópria
O conteúdo que vamos usar é:
  • Integrais impróprias (já que o limite superior é infinito).
  • Técnica de diferenciar em relação a um parâmetro sob o sinal de integral.
  • Uma integral “base” conhecida:

Passo 2

Primeiro, a ideia é introduzir um parâmetro I(a)=integral0^inftyxsen xx^2+a^2,dx na integral e definir
Sabemos (ou podemos demonstrar separadamente) que
I(a)=pi2e^-a
Isso é uma integral de Laplace básica para a função .

Passo 3

Agora, observe que a integral que queremos é
Mas essa expressão aparece se a gente derivar J(1)=integral0^inftyxsen x(x^2+1)^2,dx em relação a ddal[1x^2+a^2r] =-2a(x^2+a^2)^2 .
De fato,
dIda =ddaintegral0^inftyxsen xx^2+a^2,dx =integral0^inftyxsen x;ddal[1x^2+a^2r],dx =-2aintegral0^inftyxsen x(x^2+a^2)^2,dx
Então

Passo 4

Definindo
temos
J(a)=integral0^inftyxsen x(x^2+a^2)^2,dx,
Como dIda=-2a,J(a) Longrightarrow J(a)=-12a,dIda , calculamos
dIda =ddal(tfracpi2e^-ar) =-tfracpi2e^-a
Logo
J(a) =-12al(-tfracpi2e^-ar) =pi4a,e^-a

Passo 5

Só falta colocar J(1)=pi4cdot1,e^-1 =pi4e , porque a nossa integral original tinha .

Resposta

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