Calcule cada integral a seguir:
.
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente calcular a integral imprópria
O conteúdo que vamos usar é:
- Integrais impróprias (já que o limite superior é infinito).
- Técnica de diferenciar em relação a um parâmetro sob o sinal de integral.
- Uma integral “base” conhecida:
Passo 2
Primeiro, a ideia é introduzir um parâmetro
na integral e definir
Sabemos (ou podemos demonstrar separadamente) que
Isso é uma integral de Laplace básica para a função .
Passo 3
Agora, observe que a integral que queremos é
Mas essa expressão aparece se a gente derivar
em relação a
.
De fato,
De fato,
Então
Passo 4
Definindo
temos
Como
, calculamos
Logo
Passo 5
Só falta colocar
, porque a nossa integral original tinha
.