Calcule cada integral a seguir:
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede: “Calcule
Estamos em Cálculo Integral, mais especificamente em integrais impróprias que envolvem funções trigonométricas e racionais. Para resolver, vamos usar uma técnica muito legal: aproveitar um resultado conhecido de integrais com
e depois aplicar diferenciação em relação a
(o famoso “diferenciação sob o sinal de integral”).
Passo 2
Primeiro, lembramos de um resultado-padrão em tabelas ou obtido por transformada de Laplace / método de Jordan (mas sem precisar mergulhar nisso agora):
Explicando rapidinho: essa integral converge bem (é imprópria porque vai até o infinito) e o resultado mostra a “decadência exponencial”
.
Passo 3
Agora, a ideia é conseguir um em vez de
. Para isso, note que
Isso nos dá o truque de diferenciar a integral original com
em relação a
:
Ou seja,
Agora aplicamos o resultado do Passo 2: