Calcule cada integral a seguir:
integral0^infty x senkxdxx^2+1.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede: “Calcule
Estamos em Cálculo Integral, mais especificamente em integrais impróprias que envolvem funções trigonométricas e racionais. Para resolver, vamos usar uma técnica muito legal: aproveitar um resultado conhecido de integrais com integral0^infty x,sen(kx)x^2+1,dx e depois aplicar diferenciação em relação a cos(kx) (o famoso “diferenciação sob o sinal de integral”).

Passo 2

Primeiro, lembramos de um resultado-padrão em tabelas ou obtido por transformada de Laplace / método de Jordan (mas sem precisar mergulhar nisso agora):
integral0^infty cos(kx)x^2+1,dx ;=; pi2,e^-k, k>=0
Explicando rapidinho: essa integral converge bem (é imprópria porque vai até o infinito) e o resultado mostra a “decadência exponencial” e^-k.

Passo 3

Agora, a ideia é conseguir um em vez de x,sen(kx). Para isso, note que
Isso nos dá o truque de diferenciar a integral original com cos(kx) em relação a ddkl[cos(kx)r] ;=; -,x,sen(kx) :
Ou seja,
Agora aplicamos o resultado do Passo 2:
cos

Resposta

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