Mostre que para todo inteiro n>0, vale o seguinte:
Calcule lim n infty integral-infty^infty d xx^2 n+1.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente calcular
limntoinftyintegral-infty^inftydxx^2n+1,
onde é inteiro positivo.
Conteúdo: integral imprópria e limites de função.
O que vamos usar: estudar o comportamento do integrando

quando cresce, dividir o domínio em regiões e ver que isso vira, no limite, a “função que vale 1 em e 0 fora”.

Passo 2

Primeiro observa o limite ponto a ponto:
  • Se fn(x)=11+x^2n;longrightarrow;11+0=1 , então fn(x)=11+x^2n;longrightarrow;0 quando f(x)= 1,&|x|<1, 0,&|x|>1 , logo
  • Se , então , daí
  • Em , , mas um ponto só não muda integral.
Então, para grande, fica bem próximo de

Passo 3

Agora a ideia é: se o gráfico de limntoinftyintegral-infty^inftyfn(x),dx =integral-infty^inftylimntoinftyfn(x),dx =integral-1^11,dx =2 se aproxima de um “retângulo” de altura 1 entre e , a área (que é a integral) tende à base desse retângulo, que é .
Intuitivamente:
  1. Dentro de , para grande, então a área ali é quase .
  2. Fora de , fica bem pequenininha (tende a 0), então a contribuição para a integral vai a zero.
Como sempre, não tem “divergência” ou sinal estranho; podemos “trocar limite e integral” de modo intuitivo e concluir que

Resposta

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