Mostre que para todo inteiro
, vale o seguinte:
Calcule
.
Calcule
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente calcular
onde
é inteiro positivo.
Conteúdo: integral imprópria e limites de função.
O que vamos usar: estudar o comportamento do integrando
quando cresce, dividir o domínio em regiões e ver que isso vira, no limite, a “função que vale 1 em
e 0 fora”.
Conteúdo: integral imprópria e limites de função.
O que vamos usar: estudar o comportamento do integrando
quando
Passo 2
Primeiro observa o limite ponto a ponto:
- Se
, então quando , logo - Se
, então , daí - Em
, , mas um ponto só não muda integral.
Então, para
grande,
fica bem próximo de
Passo 3
Agora a ideia é: se o gráfico de
se aproxima de um “retângulo” de altura 1 entre
e
, a área (que é a integral) tende à base desse retângulo, que é
.
Intuitivamente:
Intuitivamente:
- Dentro de
, para grande, então a área ali é quase . - Fora de
, fica bem pequenininha (tende a 0), então a contribuição para a integral vai a zero.
Como
sempre, não tem “divergência” ou sinal estranho; podemos “trocar limite e integral” de modo intuitivo e concluir que