Mostre que para todo inteiro n>0, vale o seguinte:
integral-infty^infty d x(1+x^2 n)=2 (pi2 n)sin (pi2 n).

Passo 1

Beleza, a gente quer calcular
I=integral-infty^inftydx1+x^2n
para inteiro . O conteúdo que vamos usar é a função Beta e a conexão dela com a função Gama, e também o fato de que a integral é “par” (ou seja, simétrica em torno de zero). Não se preocupa se você nunca viu Beta/Gama a fundo: eu vou mostrar tudo do zero.

Passo 2

Primeiro, note que o integrando I=integral-infty^inftydx1+x^2n =2integral0^inftydx1+x^2n é uma função par, isto é, troca J=integral0^inftydx1+x^2n por u=x^2n Longrightarrow du=2n,x^2n-1dx Longrightarrow dx=du2n,u^1-12n e não muda nada. Logo
J =integral0^infty11+u;du2n,u^1-12n =12nintegral0^inftyu^12n-1,du1+u
Agora focamos em
Para resolver , fazemos a troca de variável
Quando vai de a , também vai de a . Substituindo em :

Passo 3

Aí entra a função Beta. A definição útil é
B(a,b) =integral0^inftyu^a-1(1+u)^a+b,du,
válida para a=12n, b=1-12n . No nosso caso, a gente tem J=12n;B!l(tfrac12n,1-tfrac12nr) , então bate com B(a,1-a)=Gamma(a),Gamma(1-a) =pisin(pi a), . Comparando,
J=12n;pisin!l(pi2nr)
Logo
I=2;12n;pisin!l(tfracpi2nr) =2,pi2nsin!l(pi2nr)
Agora a mágica da relação entre Beta e Gama:
para . Aqui satisfaz isso. Então
Como , temos

Resposta

boxed integral-infty^inftydx1+x^2n =2,pi2nsin!l(tfracpi2nr)

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