Mostre que para todo inteiro
, vale o seguinte:
.
Passo 1
Beleza, a gente quer calcular
para inteiro
. O conteúdo que vamos usar é a função Beta e a conexão dela com a função Gama, e também o fato de que a integral é “par” (ou seja, simétrica em torno de zero). Não se preocupa se você nunca viu Beta/Gama a fundo: eu vou mostrar tudo do zero.
Passo 2
Primeiro, note que o integrando
é uma função par, isto é, troca
por
e não muda nada. Logo
Agora focamos em
Para resolver
, fazemos a troca de variável
Quando
vai de
a
,
também vai de
a
. Substituindo em
:
Passo 3
Aí entra a função Beta. A definição útil é
válida para
. No nosso caso, a gente tem
, então bate com
. Comparando,
Logo
Agora a mágica da relação entre Beta e Gama:
para
. Aqui
satisfaz isso. Então
Como
, temos