Quantos subintervalos são necessários para se calcular usando a regra dos trapézios generalizada de forma a se obter um erro inferior a 0,001 ?
Passo 1
Beleza, o que a questão pede é o seguinte:
Temos a integral
e queremos aproximá-la pela regra composta dos trapézios de modo que o erro fique abaixo de 0,001.
Conteúdo envolvido: cálculo numérico (regra dos trapézios composta) e cálculo de derivadas para estimar o erro.
O que vamos precisar:
A fórmula do erro da regra composta dos trapézios
A segunda derivada de para achar o maior valor absoluto no intervalo .
Resolver a desigualdade de erro para determinar .
Passo 2
Primeiro, vamos definir
Para usar o erro da regra dos trapézios a gente precisa de . Então:
Derivada primeira:
Derivada segunda:
Passo 3
Para o erro, a gente usa a forma padrão:
Aqui b - a = 4 - (1+mu) = 3 - mu , M = max[1+mu,4]!l|f''(x)r| = 14,(1+mu)^3/2 . Logo
E como é negativo, o valor máximo de no intervalo ocorre em , ou seja