Considere a integral:
I=integral1+mu^4(5 x+raizx) d x
Quantos subintervalos m são necessários para se calcular I usando a regra dos trapézios generalizada de forma a se obter um erro inferior a 0,001 ?

Passo 1

Beleza, o que a questão pede é o seguinte:
Temos a integral
I = integral1+mu^4 l(5x + raizxr),dx
e queremos aproximá-la pela regra composta dos trapézios de modo que o erro fique abaixo de 0,001.
Conteúdo envolvido: cálculo numérico (regra dos trapézios composta) e cálculo de derivadas para estimar o erro.
O que vamos precisar:
  1. A fórmula do erro da regra composta dos trapézios
  2. A segunda derivada de para achar o maior valor absoluto no intervalo .
  3. Resolver a desigualdade de erro para determinar .

Passo 2

Primeiro, vamos definir
f(x) = 5x + raizx
Para usar o erro da regra dos trapézios a gente precisa de f'(x) = 5 + 12raizx . Então:
  1. Derivada primeira:
f''(x) = ddxl(5 + tfrac12raizxr) = 0 - 14,x^-tfrac32 = -14,x^3/2
  1. Derivada segunda:

Passo 3

Para o erro, a gente usa a forma padrão:
l|ETr| <= (b-a)^312,m^2;maxxin[a,b]l|f''(x)r|
Aqui b - a = 4 - (1+mu) = 3 - mu , M = max[1+mu,4]!l|f''(x)r| = 14,(1+mu)^3/2 . Logo
E como é negativo, o valor máximo de no intervalo ocorre em , ou seja

Passo 4

Substituindo no erro temos
l|ETr| <= (3-mu)^312,m^2;14,(1+mu)^3/2 = (3-mu)^348,m^2,(1+mu)^3/2
Queremos isso < 0,001. Então montamos a desigualdade:
(3-mu)^348,m^2,(1+mu)^3/2 < 0,001
Agora isolamos m^2 > (3-mu)^348,(1+mu)^3/2times 0,001 = (3-mu)^30,048,(1+mu)^3/2 :
m > raiz(3-mu)^30,048,(1+mu)^3/2
E daí

Resposta

O número mínimo de subintervalos m ;=; lceil raiz(3-mu)^30,048,(1+mu)^3/2 ;rceil, é
onde indica que a gente arredonda para cima o resultado.

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