Calcule cada integral a seguir:
integral0^infty cos x d x(x^2+a)^2+b^2, a, b in R.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral0^inftycos x(x^2+a)^2+b^2,dx,
onde integral0^inftycos xx^2+c^2,dx =pi2ce^-c, Re(c)>0 .
Conteúdo: integrais impróprias, frações parciais e uso da fórmula padrão
Vamos precisar também de noções básicas de números complexos para fatorar o denominador.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador como produto de quadráticos complexos:
(x^2+a)^2+b^2 =(x^2+a+ib)(x^2+a-ib)
Definimos então
alpha=raiz,a+ib,, beta=raiz,a-ib,,
escolhendo o ramo principal de raiz para que .

Passo 3

Fazemos frações parciais nessa forma fatorada. Note que
(x^2+a)^2+b^2=(x^2+alpha^2)(x^2+beta^2),
logo
1(x^2+a)^2+b^2 =1beta^2-alpha^2 l(1x^2+alpha^2-1x^2+beta^2r)
Isso vale porque
.

Passo 4

Substituímos na integral e usamos a fórmula padrão:
integral0^inftycos xx^2+alpha^2,dx =pi2alphae^-alpha, integral0^inftycos xx^2+beta^2,dx =pi2betae^-beta
Assim
integral0^inftycos x(x^2+a)^2+b^2,dx =1beta^2-alpha^2 l(pi2alphae^-alpha-pi2betae^-betar) =pi2(beta^2-alpha^2)l(e^-alphaalpha-e^-betabetar)

Passo 5

Só falta observar que
1beta^2-alpha^2 =1-2ib =i2b, .
Logo
integral0^inftycos x(x^2+a)^2+b^2,dx =pi2cdoti2bl(e^-alphaalpha-e^-betabetar) =pi,i4bl(e^-raiza+ibraiza+ib-e^-raiza-ibraiza-ibr)
e a integral fica

Resposta

boxed integral0^inftycos x(x^2+a)^2+b^2,dx =pi,i4bl(e^-raiza+ibraiza+ib-e^-raiza-ibraiza-ibr)

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