Calcule cada integral a seguir:
.
Passo 1
Então, a questão é: calcular
Isso é cálculo integral de funções de cosseno com parâmetro
.
O que vamos usar:
O que vamos usar:
- A substituição
para transformar integrais com em racionais em . - O resultado padrão
- A técnica de diferenciar sob o sinal de integral:
.
A partir do Passo 2 vamos fazer tudo na prática.
Passo 2
Primeiro, derivamos
.
J(a)=∫₀ᵖⁱ dθ/(a+cosθ).
Fazendo t=tan(θ/2) ⇒
J(a)=∫₀ᵖⁱ dθ/(a+cosθ).
Fazendo t=tan(θ/2) ⇒
Então
Agora usamos a fórmula padrão
(com ). Logo
(com
Passo 3
Agora vamos ao nosso
.
Repare que
Repare que
Portanto, trocando derivada e integral:
Ou seja,
Passo 4
Basta derivar
:
Então