Calcule cada integral a seguir:
integral0^pi d theta(a+cos theta)^2, com a>1.

Passo 1

Então, a questão é: calcular
I(a)=integral0^pidthetal(a+costhetar)^2, a>1
Isso é cálculo integral de funções de cosseno com parâmetro J(a)=integral0^pidthetaa+costheta =piraiza^2-1,(a>1) .
O que vamos usar:
  1. A substituição para transformar integrais com em racionais em .
  2. O resultado padrão
  1. A técnica de diferenciar sob o sinal de integral:
    .
A partir do Passo 2 vamos fazer tudo na prática.

Passo 2

Primeiro, derivamos costheta=1-t^21+t^2, dtheta=2,dt1+t^2, theta=0→t=0,;theta=pi→tto+infty .
J(a)=∫₀ᵖⁱ dθ/(a+cosθ).
Fazendo t=tan(θ/2) ⇒
J(a) =integral0^infty 2,dt(1+t^2)l(a+1-t^21+t^2r) =integral0^infty 2,dta(1+t^2)+(1-t^2) =integral0^infty 2,dt(a+1)+(a-1),t^2
Então
J(a) =2;pi2raiz(a+1)(a-1) =piraiza^2-1
Agora usamos a fórmula padrão

(com ). Logo

Passo 3

Agora vamos ao nosso partialpartial al(1a+costhetar) =-1(a+costheta)^2 .
Repare que
ddaJ(a) =ddaintegral0^pidthetaa+costheta =integral0^pipartialpartial a l(1a+costhetar)dtheta =-integral0^pidtheta(a+costheta)^2 =-I(a)
Portanto, trocando derivada e integral:
I(a)=-J'(a)
Ou seja,

Passo 4

Basta derivar J'(a) =pi;ddal(a^2-1r)^-1/2 =pi;l(-tfrac12r)(a^2-1)^-3/2cdot2a =-pi,a(a^2-1)^3/2 :
I(a)=-J'(a) =pi,a(a^2-1)^3/2
Então

Resposta

boxed integral0^pidthetal(a+costhetar)^2 =pi,a(a^2-1)^3/2, a>1

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