Calcule cada integral a seguir:
integral-pi^pi d theta2+sin theta-cos theta.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular
I = integral-pi^pi dtheta2 + sintheta - costheta,
Isso é um problema de Cálculo Integral com funções trigonométricas. Para resolver, a gente vai precisar usar a substituição de ângulo metade (tangente da metade do ângulo), que troca a integral trigonométrica por uma racional em . Depois integraremos essa parte racional usando técnica de completar quadrado e arctan.

Passo 2

Vamos fazer a substituição
t = tan!l(tfractheta2r)
As fórmulas padrão são:
sintheta = 2t1+t^2, costheta = 1 - t^21 + t^2, dtheta = 2,dt1 + t^2
Substituindo no integrando:
2 + sintheta - costheta = 2 + 2t1+t^2 - 1-t^21+t^2 = 2(1+t^2) + 2t - (1 - t^2)1+t^2 = 1 + 3t^2 + 2t1 + t^2
E o dtheta2 + sintheta - costheta = tfrac2,dt1+t^2tfrac1 + 3t^2 + 2t1 + t^2 = 2,dt1 + 3t^2 + 2t vira , então o integrando todo fica

Passo 3

Agora, o limite em I = integral-infty^infty 2,dt3t^2 + 2t + 1 de a corresponde a indo de a . Então
Resta resolver essa integral de uma função racional .

Passo 4

Para integrar
integral 2,dt3t^2 + 2t + 1,
a gente completa o quadrado no denominador:
3t^2 + 2t + 1 = 3l(t^2 + tfrac23tr) +1 = 3l(t + tfrac13r)^2 + 1 - tfrac13 = 3l(t + tfrac13r)^2 + tfrac23 = 3l[l(t + tfrac13r)^2 + l(tfracraiz23r)^2r]
Então
integral 2,dt3t^2 + 2t + 1 = integral 2,dt3l[(t+tfrac13)^2 + (tfracraiz23)^2r] = 23integral dt(t+tfrac13)^2 + (tfracraiz23)^2
E usamos
23cdot 3raiz2,arctan!l(t+tfrac13tfracraiz23r) = 2raiz2,arctan!l(3t+1raiz2r) = raiz2;arctan!l(3t+1raiz2r) .
Com e , dá

Passo 5

Agora é só aplicar os limites de I = l[raiz2,arctan!l(tfrac3t+1raiz2r)r]-infty^+infty = raiz2l(tfracpi2 - (-tfracpi2)r) = raiz2cdotpi a :

Resposta

boxed,integral-pi^pi dtheta2 + sintheta - costheta = piraiz2

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