Calcule cada integral a seguir:
.
Passo 1
Beleza, o exercício pede para calcular
Isso é um problema de Cálculo Integral com funções trigonométricas. Para resolver, a gente vai precisar usar a substituição de ângulo metade (tangente da metade do ângulo), que troca a integral trigonométrica por uma racional em
. Depois integraremos essa parte racional usando técnica de completar quadrado e arctan.
Passo 2
Vamos fazer a substituição
As fórmulas padrão são:
Substituindo no integrando:
E o
vira
, então o integrando todo fica
Passo 3
Agora, o limite em
de
a
corresponde a
indo de
a
. Então
Resta resolver essa integral de uma função racional
.
Passo 4
Para integrar
a gente completa o quadrado no denominador:
Então
E usamos
.
Com e
, dá
Com
Passo 5
Agora é só aplicar os limites de
a
: