Calcule cada integral a seguir:
.
Passo 1
Beleza, a conta que a gente quer resolver é
Isso cai em “integrais trigonométricas” e, para tocar o barco, vamos precisar de duas coisas principais:
- Uma identidade que junta
numa única cosseno com fase. - A famosa substituição de Weierstrass
(que transforma integrais de funções racionais de e em integrais racionais de ).
Passo 2
Primeiro truque: escrever
numa forma mais compacta. A gente sabe que, em geral,
onde
satisfaz
e
.
No nosso caso , então
e chocho que
. Logo
No nosso caso
Assim a integral vira
Passo 3
Agora a gente faz a troca de variável de fase e a Weierstrass:
- Defino
. Como é intervalo de a , também vai percorrer um ciclo de comprimento . Então posso reescrever a integral como
- Para resolver
uso . Aí valem:
e o ciclo
vira
. Substituindo, a integral fica
Agora só simplificar o denominador:
Então o integrando vira
Logo nossa integral é
Passo 4
Faltou só usar a fórmula padrão
Aqui
e
. Então