Calcule cada integral a seguir:
integral0^2 pi d theta4+cos theta+sin theta.

Passo 1

Beleza, a conta que a gente quer resolver é
integral0^2pi dtheta4+costheta+sintheta
Isso cai em “integrais trigonométricas” e, para tocar o barco, vamos precisar de duas coisas principais:
  1. Uma identidade que junta costheta+sintheta numa única cosseno com fase.
  2. A famosa substituição de Weierstrass t=tanl(tfracphi2r) (que transforma integrais de funções racionais de sin e cos em integrais racionais de t).

Passo 2

Primeiro truque: escrever
costheta+sintheta
numa forma mais compacta. A gente sabe que, em geral,
bcostheta+csintheta = raizb^2+c^2,cos!l(theta-de
onde de satisfaz cosde e sinde.
No nosso caso b=c=1, então raizb^2+c^2=raiz2 e chocho que de. Logo
costheta+sintheta =raiz2,cos!l(theta-tfracpi4r)
Assim a integral vira
integral0^2pidtheta4+raiz2,cos!l(theta-tfracpi4r)

Passo 3

Agora a gente faz a troca de variável de fase e a Weierstrass:
  1. Defino phi=theta-tfracpi4. Como é intervalo de 0 a 2pi, phi também vai percorrer um ciclo de comprimento 2pi. Então posso reescrever a integral como
integral0^2pidphi4+raiz2,cosphi
  1. Para resolver integral0^2pidphi4+raiz2cosphi uso t=tan!l(tfracphi2r). Aí valem:
cosphi=1-t^21+t^2, dphi=2,dt1+t^2,
e o ciclo phi:0to2pi vira t:-inftyto+infty. Substituindo, a integral fica
integral-infty^infty 14+raiz2!1-t^21+t^2 ;2,dt1+t^2
Agora só simplificar o denominador:
4+raiz21-t^21+t^2 =4(1+t^2)+raiz2(1-t^2)1+t^2 =(4+raiz2)+(4-raiz2),t^21+t^2
Então o integrando vira
21+t^2;1+t^2(4+raiz2)+(4-raiz2),t^2 =2(4+raiz2)+(4-raiz2),t^2
Logo nossa integral é
integral-infty^infty2,dt(4+raiz2)+(4-raiz2),t^2

Passo 4

Faltou só usar a fórmula padrão
integral-infty^inftydtA+B,t^2 =piraizA,B (para $A,B>0$)
Aqui A=4+raiz2 e B=4-raiz2. Então
integral-infty^infty2,dt(4+raiz2)+(4-raiz2),t^2 =2;piraiz(4+raiz2)(4-raiz2) =2,piraiz16-2 =2piraiz14

Resposta

boxed2piraiz14

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