Calcule cada integral a seguir:
integral0^2 pi cos ^2 3 theta5-4 cos 2 theta d theta.

Passo 1

Beleza, o problema pede para calcular a integral
I = integral0^2pi cos^2(3theta)5 - 4cos(2theta),dtheta
Isso faz parte de Integrais Trigonométricas (em que usamos identidades de funções trigonométricas e integrais conhecidas de séries de Fourier). Para resolver, a gente vai precisar:
  • Usar a identidade integral0^2picos(nphi)a - bcosphi,dphi = 2piraiza^2-b^2l(a-raiza^2-b^2br)^!n, a>|b| .
  • Fazer uma troca de variável do tipo para alinhar tudo no formato .
  • Aplicar a fórmula padrão

Passo 2

Primeiro, usamos I = integral0^2pitfrac12l(1+cos6thetar)5-4cos2theta,dtheta = 12integral0^2pi1+cos6theta5-4cos2theta,dtheta . Logo,

Passo 3

Agora faça a troca de variável integral0^2pi1+cos6theta5-4cos2theta,dtheta = 12integral0^4pi1+cos3phi5-4cosphi,dphi , então integral0^4pi1+cos3phi5-4cosphi,dphi = 2integral0^2pi1+cos3phi5-4cosphi,dphi . Quando I = 12;12;2integral0^2pi1+cos3phi5-4cosphi,dphi = 12integral0^2pi1+cos3phi5-4cosphi,dphi vai de a , vai de a . Assim,
Como o integrando é -periódico em , a integral em vale o dobro da de . Portanto
Logo

Passo 4

Separamos em duas integrais:
integral0^2pi1+cos3phi5-4cosphi,dphi = integral0^2pidphi5-4cosphi + integral0^2picos3phi5-4cosphi,dphi
Aqui a-raiza^2-b^2b=5-34=12 , integral0^2pidphi5-4cosphi = 2piraiz5^2-4^2l(tfrac12r)^0 = 2pi3 , então integral0^2picos3phi5-4cosphi,dphi = 2pi3l(tfrac12r)^3 = 2pi3cdot18 = pi12 e
Pela fórmula:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Somando as duas:
integral0^2pi1+cos3phi5-4cosphi,dphi = 2pi3 + pi12 = 8pi12 + pi12 = 9pi12 = 3pi4
Então
I = 12 times 3pi4 = 3pi8

Resposta

boxed3pi8

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