Calcule cada integral a seguir:
.
Passo 1
Beleza, o problema pede para calcular a integral
Isso faz parte de Integrais Trigonométricas (em que usamos identidades de funções trigonométricas e integrais conhecidas de séries de Fourier). Para resolver, a gente vai precisar:
- Usar a identidade
. - Fazer uma troca de variável do tipo
para alinhar tudo no formato . - Aplicar a fórmula padrão
Passo 2
Primeiro, usamos
. Logo,
Passo 3
Agora faça a troca de variável
, então
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim,
Como o integrando é
-periódico em
, a integral em
vale o dobro da de
. Portanto
Logo
Passo 4
Separamos em duas integrais:
Aqui
,
, então
e
Pela fórmula:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Somando as duas:
Então