Calcule cada integral a seguir:
integral-pi^pi d theta1+sen^2 theta.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular a integral
Isso é cálculo de integral definida usando trigonometria e substituições. Vamos precisar
  • da propriedade de paridade (função par) pra reduzir o intervalo;
  • da substituição integral-pi^pi dtheta1+sen^2theta pra transformar uma integral em numa integral em ;
  • e de conhecimentos básicos de integrais do tipo .

Passo 2

Primeiro, note que
é função par, pois e . Então
f(theta)=11+sen^2theta
Além disso, para integral-pi^pi f(theta),dtheta ;=;2integral0^pi f(theta),dtheta , temos , o que faz
integral0^pi f(theta),dtheta ;=;integral0^pi2f(theta),dtheta +integralpi2^pif(theta),dtheta ;=;2integral0^pi2f(theta),dtheta
Logo

Passo 3

Agora vem a substituição
t = tantheta, dtheta = dt1+t^2,
e sabe que
Então o integrando vira
Multiplicando pelo sen^2theta=t^21+t^2 :
Os limites mudam de 11+sen^2theta =11+t^21+t^2 =1+t^21+t^2 + t^2 =1+t^21+2t^2 e dtheta1+sen^2theta =1+t^21+2t^2,dt1+t^2 =dt1+2t^2 .

Passo 4

A integral que restou é
E sabemos que
4integral0^pi2dtheta1+sen^2theta =4integral0^inftydt1+2t^2
Logo, avaliando de integraldt1+2t^2 =1raiz2arctanl(raiz2,tr) (porque (integral dt/(a^2+t^2)=1aarctan(t/a))) a integral0^inftydt1+2t^2 =1raiz2l[arctan(raiz2,t)r]0^infty =1raiz2,pi2 =pi2raiz2 :
4;times;pi2raiz2 =4pi2raiz2 =2piraiz2 =piraiz2
Multiplicando pelo 4 que tínhamos lá em cima:

Resposta

boxedpiraiz2

Exercícios relacionados