Calcule as derivadas das funções abaixo, usando a definição:
f(z)=5 z^2-10 z+8.

Passo 1

Beleza, a gente tem que calcular a derivada de
f(z) = 5z^2 - 10z + 8
usando a definição de derivada. Isso é parte de Cálculo Diferencial: a gente vai usar a ideia de limite
f'(z) = limh to 0 f(z+h) - f(z)h
Pra isso, vamos precisar:
  • Substituir na função,
  • Fazer a diferença ,
  • Simplificar, fatorar ,
  • E por fim tomar o limite quando .

Passo 2

Vamos substituir f(z+h) = 5(z+h)^2 - 10(z+h) + 8 em f(z+h) = 5(z^2 + 2zh + h^2) - 10z - 10h + 8 :
f(z+h) = 5z^2 + 10zh + 5h^2 - 10z - 10h + 8
Agora expandindo termo a termo:
  1. f(z+h) - f(z)h = l(5z^2 + 10zh + 5h^2 - 10z - 10h + 8r) - l(5z^2 - 10z + 8r)h .
  2. Então 10zh + 5h^2 - 10hh
  3. Distribuindo o 5:
Agora fazemos o quociente de diferença:
Cancelando o que repetir:
  • some com ,
  • some com ,
  • some com .
    Fica só:

Passo 3

Agora fatoramos 10zh + 5h^2 - 10h = h,(10z + 5h - 10) no numerador:
f(z+h) - f(z)h = h,(10z + 5h - 10)h = 10z + 5h - 10
Logo
f'(z) = limhto 0 l(10z + 5h - 10r) = 10z - 10
Pra obter a derivada, tomamos o limite quando :

Resposta

f'(z) = 10z - 10

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