Calcule as derivadas das funções abaixo, usando a definição:
f(z)=alpha z+beta;

Passo 1

Beleza, a gente tem a função
f(z)=alpha z + beta
e o objetivo é achar a derivada dela usando a definição de derivada. Isso faz parte de Cálculo (método de derivadas via limites). Para resolver, vamos precisar da definição básica:
f'(z) = limhto 0 f(z+h)-f(z)h
e de noções simples de limite e álgebra para simplificar.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a definição de derivada para a nossa função:
f'(z) = limhto 0 f(z+h) - f(z)h
Isso é só “a receita” de como derivar usando limites.

Passo 3

Agora, vamos calcular f(z+h) = alpha,(z+h) + beta = alpha z + alpha h + beta . Como , temos:

Passo 4

Substituindo na fração da definição:
f(z+h)-f(z)h = l(alpha z + alpha h + betar) - (alpha z + beta)h
Repara que = alpha z + alpha h + beta - alpha z - betah = alpha hh e se cancelam:

Passo 5

Aí é só simplificar f'(z) = limhto 0 alpha = alpha (para ) e, como não resta nada que dependa de , o limite quando é direto:

Resposta

boxedf'(z)=alpha

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