Determine se as funções a seguir são contínuas nos pontos dados. Se não for, justifique.
f(z)=i z+4, nos pontos z1=i e z2=3 i.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente ver se a função
z1=i e z2=3i
é contínua em dois pontos específicos:
Isso faz parte de continuidade de funções de variável complexa. Para resolver, a gente vai usar a definição de continuidade (limite) e mostrar que todo polinômio em é contínuo.

Passo 2

Definição básica de continuidade em limzto z0f(z)=f(z0) :
f(z)-f(z0) = l(i,z+4r)-l(i,z0+4r) = i,(z-z0)
Ou, na linguagem de |f(z)-f(z0)| = |,i,(z-z0),| = |i|;|z-z0| = 1cdot |z-z0| = |z-z0| - |f(z)-f(z0)| = |z-z0| < de:
Para todo existe tal que, se , então .
Agora vamos ao nosso . Pegando um ponto qualquer , temos
Tomando módulo:
Então, dado , se a gente escolher , sempre que teremos
Pronto: isso mostra que é contínua em qualquer ponto do plano.

Passo 3

Em particular, nos pontos e a mesma argumentação vale, porque não usamos nenhuma propriedade especial de . Só para ilustrar:
  • , e de fato .
  • , e .
Em ambos os casos a definição de limite dá certo com .

Resposta

A função é contínua tanto em quanto em .

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