Determine se as funções a seguir são contínuas nos pontos dados. Se não for, justifique.
, nos pontos
e
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente ver se a função
é contínua em dois pontos específicos:
é contínua em dois pontos específicos:
Isso faz parte de continuidade de funções de variável complexa. Para resolver, a gente vai usar a definição de continuidade (limite) e mostrar que todo polinômio em
é contínuo.
Passo 2
Definição básica de continuidade em
:
Ou, na linguagem de
-
:
Para todo existe
tal que, se
, então
.
Para todo
Agora vamos ao nosso
. Pegando um ponto qualquer
, temos
Tomando módulo:
Então, dado
, se a gente escolher
, sempre que
teremos
Pronto: isso mostra que
é contínua em qualquer ponto
do plano.
Passo 3
Em particular, nos pontos
e
a mesma argumentação vale, porque não usamos nenhuma propriedade especial de
. Só para ilustrar:
-
, e de fato . -
, e .
Em ambos os casos a definição de limite dá certo com
.
Resposta
A função
é contínua tanto em
quanto em
.