Determine se as funções a seguir são contínuas nos pontos dados. Se não for, justifique.
f(z)=z^2-1z-1 quando z neq 2 e f(1)=2, no ponto z=1.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente ver se a função
f(z)= z^2-1z-1, & zneq 1, 2, & z=1
é contínua em limzto1f(z) ;=; f(1) . Isso é um problema de continuidade de função (análise real ou complexa básica) e a gente vai precisar usar a definição de limite e de continuidade: para ser contínua em , tem que valer

Passo 2

Antes de meter a mão na massa, vamos relembrar a definição de continuidade num ponto limzto af(z) = f(a) :
  1. O limite deve existir.
  2. A função precisa estar definida em , ou seja, deve existir.
  3. Esses dois valores têm que coincidir:
No nosso caso, e a gente já tem . Agora só falta achar .

Passo 3

Para calcular z^2-1=(z-1)(z+1) Longrightarrow z^2-1z-1 = z+1 , primeiro simplificamos a expressão algébrica (lembrando que essa simplificação só vale para limzto1z^2-1z-1 = limzto1(z+1) = 1+1 =2 , mas é suficiente pra achar o limite):
Logo,

Passo 4

Agora a gente compara:
limzto1f(z)=2 e f(1)=2
Como o limite existe e bate certinho com o valor da função em , a gente conclui que é contínua em .

Resposta

A função é contínua em .

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