Calcule as derivadas das seguintes funções que combinam trigonometria, polinômios e regras de derivação:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Dados fornecidos:
- A função é
. - Quer-se encontrar
, a derivada de em função de .
Passo 2
Relembrando as regras que vamos usar (escrevo as fórmulas e explico cada símbolo):
- Regra da soma/diferença: a derivada da soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas.
Aqui
e
são funções quaisquer;
e
são suas derivadas.
- Regra do fator constante: uma constante pode sair da derivada.
onde
é constante.
- Derivada do cosseno: a derivada de
é .
- Regra do monômio (potência): para
com real,
No nosso caso
, então
.
Passo 3
Aplicando a regra da soma/diferença e da constante à função
:
Aqui usei que a derivada de uma diferença é a diferença das derivadas.
Passo 4
Calcular a derivada do primeiro termo
.
Pelo fator constante e pela derivada de :
Pelo fator constante e pela derivada de
Explicação: o 3 é constante e sai da derivada; a derivada de
é
.
Passo 5
Calcular a derivada do segundo termo
.
Pelo fator constante e pela regra da potência:
Pelo fator constante e pela regra da potência:
Como no sinal original esse termo é subtraído, na expressão final aparecerá
.
Passo 6
Juntando os resultados dos passos anteriores:
Opcionalmente pode-se fatorar
: