Calcule as derivadas das seguintes funções que combinam trigonometria, polinômios e regras de derivação:
g(x)=3 \cos x-2 x^{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Dados fornecidos:
  • A função é g(x)=3\cos x-2x^{3}.
  • Quer-se encontrar g'(x), a derivada de g em função de x.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (escrevo as fórmulas e explico cada símbolo):
  • Regra da soma/diferença: a derivada da soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas.
\frac{d}{dx}\big(f(x)+h(x)\big)=f'(x)+h'(x).
Aqui f(x) e h(x) são funções quaisquer; f'(x) e h'(x) são suas derivadas.
  • Regra do fator constante: uma constante pode sair da derivada.
\frac{d}{dx}\big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot f'(x),
onde c é constante.
  • Derivada do cosseno: a derivada de \cos x é -\sin x.
\frac{d}{dx}\big(\cos x\big)=-\sin x.
  • Regra do monômio (potência): para f(x)=x^{n} com n real,
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n x^{n-1}.
No nosso caso n=3, então \dfrac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}.

Passo 3

Aplicando a regra da soma/diferença e da constante à função g:
g(x)=3\cos x-2x^{3}\quad\Rightarrow\quad g'(x)=\frac{d}{dx}\big(3\cos x\big)-\frac{d}{dx}\big(2x^{3}\big).
Aqui usei que a derivada de uma diferença é a diferença das derivadas.

Passo 4

Calcular a derivada do primeiro termo \dfrac{d}{dx}\big(3\cos x\big).
Pelo fator constante e pela derivada de \cos x:
\frac{d}{dx}\big(3\cos x\big)=3\cdot\frac{d}{dx}\big(\cos x\big)=3\cdot(-\sin x)=-3\sin x.
Explicação: o 3 é constante e sai da derivada; a derivada de \cos x é -\sin x.

Passo 5

Calcular a derivada do segundo termo \dfrac{d}{dx}\big(2x^{3}\big).
Pelo fator constante e pela regra da potência:
\frac{d}{dx}\big(2x^{3}\big)=2\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=2\cdot(3x^{2})=6x^{2}.
Como no sinal original esse termo é subtraído, na expressão final aparecerá -6x^{2}.

Passo 6

Juntando os resultados dos passos anteriores:
g'(x) = -3\sin x - 6x^{2}.
Opcionalmente pode-se fatorar -3:
g'(x)=-3\big(\sin x + 2x^{2}\big).

Resposta

g'(x)=-3\sin x-6x^{2}

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