Calcule as derivadas das seguintes funções que combinam trigonometria, polinômios e regras de derivação:
p(x)=x \cdot \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado dá a função p definida por
p(x)=x\cdot \operatorname{sen} x
e pede para calcular a derivada p'(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é produto de duas funções: f(x)=x e g(x)=\operatorname{sen} x.
  • Quer-se a derivada em termos de x (forma simbólica).

Passo 2

Relembrando a regra que vamos usar: a regra do produto. Se f e g são funções diferenciáveis, então a derivada do produto é
(f\cdot g)' = f'\cdot g + f\cdot g'.
Explicando devagar: a derivada do produto combina a derivada de cada fator mantendo o outro fator não derivado, e soma os dois resultados. Isso é essencial para produtos como x\cdot \operatorname{sen} x.

Passo 3

Precisamos também das derivadas das funções básicas que aparecem:
  • A derivada de x em relação a x é
\frac{d}{dx}(x)=1.
Motivação: x é uma função linear de coeficiente 1, então sua taxa de variação é constante igual a 1.
  • A derivada da função seno é
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen} x\big)=\operatorname{cos} x.
Isto é uma regra padrão da trigonometria diferencial: ao derivar seno obtém-se cosseno.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto à nossa função. Tomando f(x)=x e g(x)=\operatorname{sen} x, pela fórmula do Passo 2:
p'(x)=f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x).
Substituindo f'(x)=1, g(x)=\operatorname{sen} x e g'(x)=\operatorname{cos} x:
p'(x)=1\cdot \operatorname{sen} x + x\cdot \operatorname{cos} x.

Passo 5

Podemos deixar a expressão mais limpa (retirando o 1 multiplicando):
p'(x)=\operatorname{sen} x + x\,\operatorname{cos} x.
Comentário prático: em uma questão de prova, deixe exatamente nessa forma. Se quiser avaliar em um ponto, por exemplo em x=0,
p'(0)=\operatorname{sen}0 + 0\cdot \operatorname{cos}0 = 0.
Isso serve como checagem rápida.

Resposta

p'(x)=\operatorname{sen} x + x\,\operatorname{cos} x

Exercícios relacionados