Calcule as derivadas das seguintes funções que combinam trigonometria, polinômios e regras de derivação:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para calcular a derivada
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é produto de duas funções:
e . - Quer-se a derivada em termos de
(forma simbólica).
Passo 2
Relembrando a regra que vamos usar: a regra do produto. Se
e
são funções diferenciáveis, então a derivada do produto é
Explicando devagar: a derivada do produto combina a derivada de cada fator mantendo o outro fator não derivado, e soma os dois resultados. Isso é essencial para produtos como
.
Passo 3
Precisamos também das derivadas das funções básicas que aparecem:
- A derivada de
em relação a é
Motivação:
é uma função linear de coeficiente
, então sua taxa de variação é constante igual a
.
- A derivada da função seno é
Isto é uma regra padrão da trigonometria diferencial: ao derivar seno obtém-se cosseno.
Passo 4
Agora aplicamos a regra do produto à nossa função. Tomando
e
, pela fórmula do Passo 2:
Substituindo
,
e
:
Passo 5
Podemos deixar a expressão mais limpa (retirando o
multiplicando):
Comentário prático: em uma questão de prova, deixe exatamente nessa forma. Se quiser avaliar em um ponto, por exemplo em
,
Isso serve como checagem rápida.