Usando a regra do quociente, calcule as derivadas das seguintes funções trigonométricas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função trigonométrica
, lembrando que foi dada na forma
Pergunta: calcular
usando a regra do quociente. Informação útil que já está no enunciado:
foi reescrita como quociente de duas funções, numerador
e denominador
.
Passo 2
Lembrete da regra do quociente (essa é a “fórmula” que vamos usar). Se tivermos duas funções
e
com
, a derivada de
é
Explicando cada parte:
é a derivada do numerador,
é a derivada do denominador, multiplicamos
por
, subtraímos
vezes
, e dividimos pelo quadrado do denominador
.
Passo 3
Identificar
e
para o nosso caso:
Agora calculamos as derivadas de
e
:
A derivada da função cosseno é uma fórmula básica de trigonometria:
logo
Passo 4
Aplicar a regra do quociente substituindo
na fórmula:
Agora simplificar o numerador:
Portanto
Passo 5
Interpretar e reescrever a resposta usando funções trigonométricas conhecidas. Lembre que
Podemos separar
como
Assim chegamos à forma clássica e compacta da derivada.
Passo 6
Dica prática para a prova: é mais rápido relembrar a derivada direta de
como
. Se for obrigatório usar a regra do quociente, siga exatamente os passos acima: identifique
e
, calcule
e
, aplique a fórmula e simplifique. Se preferir, também dá para usar a regra da cadeia escrevendo
e derivando, o resultado será o mesmo.