Usando a regra do quociente, calcule as derivadas das seguintes funções trigonométricas:
h(x)=\operatorname{sec} x=\frac{1}{\cos x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função trigonométrica h(x)=\operatorname{sec} x, lembrando que foi dada na forma
h(x)=\operatorname{sec} x=\frac{1}{\cos x}.
Pergunta: calcular h'(x) usando a regra do quociente. Informação útil que já está no enunciado: h foi reescrita como quociente de duas funções, numerador 1 e denominador \cos x.

Passo 2

Lembrete da regra do quociente (essa é a “fórmula” que vamos usar). Se tivermos duas funções f(x) e g(x) com g(x)\neq0, a derivada de \dfrac{f(x)}{g(x)} é
\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)\,g(x)-f(x)\,g'(x)}{[g(x)]^{2}}.
Explicando cada parte: f'(x) é a derivada do numerador, g'(x) é a derivada do denominador, multiplicamos f'(x) por g(x), subtraímos f(x) vezes g'(x), e dividimos pelo quadrado do denominador g(x).

Passo 3

Identificar f e g para o nosso caso:
f(x)=1,\qquad g(x)=\cos x.
Agora calculamos as derivadas de f e g:
f'(x)=0\quad\text{(derivada de constante)}.
A derivada da função cosseno é uma fórmula básica de trigonometria:
\frac{d}{dx}\big(\cos x\big)=-\sin x,
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g'(x)=-\sin x.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente substituindo f,f',g,g' na fórmula:
h'(x)=\left(\frac{1}{\cos x}\right)'=\frac{0\cdot\cos x - 1\cdot(-\sin x)}{(\cos x)^{2}}.
Agora simplificar o numerador:
0\cdot\cos x - 1\cdot(-\sin x)=0 + \sin x=\sin x.
Portanto
h'(x)=\frac{\sin x}{\cos^{2}x}.

Passo 5

Interpretar e reescrever a resposta usando funções trigonométricas conhecidas. Lembre que
\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\quad\text{e}\quad \operatorname{sec} x=\frac{1}{\cos x}.
Podemos separar \dfrac{\sin x}{\cos^{2}x} como
\frac{\sin x}{\cos^{2}x}=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)\left(\frac{1}{\cos x}\right)=\tan x\cdot\operatorname{sec} x.
Assim chegamos à forma clássica e compacta da derivada.

Passo 6

Dica prática para a prova: é mais rápido relembrar a derivada direta de \operatorname{sec} x como \operatorname{sec} x\tan x. Se for obrigatório usar a regra do quociente, siga exatamente os passos acima: identifique f e g, calcule f' e g', aplique a fórmula e simplifique. Se preferir, também dá para usar a regra da cadeia escrevendo \operatorname{sec} x=(\cos x)^{-1} e derivando, o resultado será o mesmo.

Resposta

\;h'(x)=\operatorname{sec} x\,\tan x

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