Complete a tabela de derivadas das funções trigonométricas:
Função Derivada
\operatorname{sen} x
\cos x
\operatorname{tg} x
\operatorname{cotg} x
\operatorname{sec} x
\csc x

Passo 1

O que o enunciado pede: completar a tabela com as derivadas das seis funções trigonométricas listadas. As funções dadas são (copiadas do enunciado):
  • \operatorname{sen}x
  • \cos x
  • \operatorname{tg}x
  • \operatorname{cotg}x
  • \operatorname{sec} x
  • \csc x
Objetivo claro: para cada função acima encontrar \dfrac{d}{dx}(\text{função})çã e escrever a forma simplificada da derivada (quando necessário indicar a restrição do domínio onde a derivada existe, por exemplo pontos onde alguma função não está definida).

Passo 2

Derivada de \operatorname{sen}x. Vou fazer passo a passo usando a definição de derivada (limite do quociente incremental) e duas propriedades-limite pequenas que são essenciais.
Definição:
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}x=\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen}x}{h}.
Usar a fórmula de soma para seno: \operatorname{sen}(x+h)=\operatorname{sen}x\cos h+\cos x\operatorname{sen}h. Substituindo na definição:
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}x = \lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}x\cos h+\cos x\operatorname{sen}h-\operatorname{sen}x}{h}.
Agrupando termos:
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}x = \lim_{h\to 0}\left[ \operatorname{sen}x\cdot\frac{\cos h-1}{h} + \cos x\cdot\frac{\operatorname{sen}h}{h} \right].
Agora usamos dois limites clássicos (mostro rapidamente por que valem):
  • \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}h}{h}=1. (Razão: para 0<h<\tfrac{\pi}{2} vale \operatorname{sen}h<h<\tan h. Dividindo por h e passando ao limite pela desigualdade obtém-se 1 como único possível limite.)
  • \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}=0. (Usar a identidade \cos h-1=-2\sin^2\!\tfrac{h}{2}. Então \dfrac{\cos h-1}{h}=-2\left(\dfrac{\sin(h/2)}{h/2}\right)^2\!\cdot\!\dfrac{h}{4}, que tende a 0 porque \dfrac{\sin(h/2)}{h/2}\to1 e o fator \dfrac{h}{4}\to0.)
Aplicando esses limites:
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}x = \operatorname{sen}x\cdot 0 + \cos x\cdot 1 = \cos x.
Portanto a derivada de \operatorname{sen}x é \cos x.

Passo 3

Derivada de \cos x. Mesma estratégia, usando a definição e a fórmula de soma para cosseno:
\frac{d}{dx}\cos x=\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}.
Usando \cos(x+h)=\cos x\cos h-\operatorname{sen}x\operatorname{sen}h,
\frac{d}{dx}\cos x = \lim_{h\to 0}\frac{\cos x\cos h-\operatorname{sen}x\operatorname{sen}h-\cos x}{h} = \lim_{h\to 0}\left[\cos x\cdot\frac{\cos h-1}{h} - \operatorname{sen}x\cdot\frac{\operatorname{sen}h}{h}\right].
Usando os limites do passo anterior ( \lim\frac{\cos h-1}{h}=0 e \lim\frac{\operatorname{sen}h}{h}=1):
\frac{d}{dx}\cos x = \cos x\cdot 0 - \operatorname{sen}x\cdot 1 = -\operatorname{sen}x.
Portanto a derivada de \cos x é -\operatorname{sen}x.

Passo 4

Derivada de \operatorname{tg}x. Primeiro lembrar que \operatorname{tg}x=\dfrac{\operatorname{sen}x}{\cos x} e que essa função só está definida quando \cos x\neq 0. Usamos a regra do quociente (se u e v são diferenciáveis e v\neq0 então \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{u}{v}\right)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}). Aplicando com u=\operatorname{sen}x e v=\cos x:
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}x = \frac{(\operatorname{sen}x)'\cos x - \operatorname{sen}x(\cos x)'}{\cos^2 x}.
Substituir as derivadas encontradas nos passos anteriores: (\operatorname{sen}x)'=\cos x e (\cos x)'=-\operatorname{sen}x. Assim
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}x = \frac{\cos x\cdot\cos x - \operatorname{sen}x\cdot(-\operatorname{sen}x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \operatorname{sen}^2 x}{\cos^2 x}.
Usando a identidade trigonométrica \operatorname{sen}^2 x+\cos^2 x=1,
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}x = \frac{1}{\cos^2 x} = \operatorname{sec}^2 x.
Conclusão: \dfrac{d}{dx}\operatorname{tg}x=\operatorname{sec}^2 x (válida onde \cos x\neq0).

Passo 5

Derivada de \operatorname{cotg}x. Lembrar que \operatorname{cotg}x=\dfrac{\cos x}{\operatorname{sen}x} e está definida quando \operatorname{sen}x\neq0. Usar a regra do quociente com u=\cos x, v=\operatorname{sen}x:
\frac{d}{dx}\operatorname{cotg}x = \frac{(\cos x)'\operatorname{sen}x - \cos x\cdot(\operatorname{sen}x)'}{\operatorname{sen}^2 x}.
Substituir (\cos x)'=-\operatorname{sen}x e (\operatorname{sen}x)'=\cos x:
\frac{d}{dx}\operatorname{cotg}x = \frac{(-\operatorname{sen}x)\operatorname{sen}x - \cos x\cdot\cos x}{\operatorname{sen}^2 x} = -\frac{\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x}{\operatorname{sen}^2 x}.
Usando \operatorname{sen}^2 x+\cos^2 x=1,
\frac{d}{dx}\operatorname{cotg}x = -\frac{1}{\operatorname{sen}^2 x} = -\csc^2 x.
Portanto \dfrac{d}{dx}\operatorname{cotg}x=-\csc^2 x (onde \operatorname{sen}x\neq0).

Passo 6

Derivada de \operatorname{sec} x. Lembrar que \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x} (definida quando \cos x\neq0). Podemos derivar usando a regra do quociente com u=1 e v=\cos x, ou pensar em \operatorname{sec} x=(\cos x)^{-1} e usar a regra da cadeia. Faço com quociente por ser direto:
\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\frac{0\cdot\cos x - 1\cdot(\cos x)'}{\cos^2 x} = -\frac{(\cos x)'}{\cos^2 x}.
Como (\cos x)'=-\operatorname{sen}x,
\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x = -\frac{-\operatorname{sen}x}{\cos^2 x} = \frac{\operatorname{sen}x}{\cos^2 x}.
Reescrevendo \dfrac{\operatorname{sen}x}{\cos^2 x} = \dfrac{1}{\cos x}\cdot\dfrac{\operatorname{sen}x}{\cos x} = \operatorname{sec} x\tan x. Portanto
\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x = \operatorname{sec} x\tan x,
válido onde \cos x\neq0.

Passo 7

Derivada de \csc x. Como \csc x=\dfrac{1}{\operatorname{sen}x} (definida quando \operatorname{sen}x\neq0), usamos a mesma ideia:
\frac{d}{dx}\csc x = \frac{0\cdot\operatorname{sen}x - 1\cdot(\operatorname{sen}x)'}{\operatorname{sen}^2 x} = -\frac{(\operatorname{sen}x)'}{\operatorname{sen}^2 x}.
Com (\operatorname{sen}x)'=\cos x,
\frac{d}{dx}\csc x = -\frac{\cos x}{\operatorname{sen}^2 x}.
Reescrevendo -\dfrac{\cos x}{\operatorname{sen}^2 x} = -\dfrac{1}{\operatorname{sen}x}\cdot\dfrac{\cos x}{\operatorname{sen}x} = -\csc x\operatorname{cotg} x. Logo
\frac{d}{dx}\csc x = -\csc x\operatorname{cotg} x,
válido onde \operatorname{sen}x\neq0.

Passo 8

Resumo rápido e dica para a prova (rápida, prática e motivadora): memorize bem as duas primeiras derivadas
\dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}x=\cos x e \dfrac{d}{dx}\cos x=-\operatorname{sen}x; as demais podem ser obtidas facilmente usando divisão por \cos ou \operatorname{sen} e a regra do quociente. Lembra também as restrições: \operatorname{tg}x e \operatorname{sec} x exigem \cos x\neq0; \operatorname{cotg}x e \csc x exigem \operatorname{sen}x\neq0. Vai dar certo — respira, repete as fórmulas e faz uns exercícios rápidos para fixar.

Resposta

\dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}x=\cos x
\dfrac{d}{dx}\cos x=-\operatorname{sen}x
\dfrac{d}{dx}\operatorname{tg}x=\operatorname{sec}^2 x
\dfrac{d}{dx}\operatorname{cotg}x=-\csc^2 x
\dfrac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\operatorname{sec} x\tan x
\dfrac{d}{dx}\csc x=-\csc x\operatorname{cotg} x

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