Complete a tabela de derivadas das funções trigonométricas:
Função
Derivada
| Função | Derivada |
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Passo 1
O que o enunciado pede: completar a tabela com as derivadas das seis funções trigonométricas listadas. As funções dadas são (copiadas do enunciado):
Objetivo claro: para cada função acima encontrar
e escrever a forma simplificada da derivada (quando necessário indicar a restrição do domínio onde a derivada existe, por exemplo pontos onde alguma função não está definida).
Passo 2
Derivada de
. Vou fazer passo a passo usando a definição de derivada (limite do quociente incremental) e duas propriedades-limite pequenas que são essenciais.
Definição:
Usar a fórmula de soma para seno:
. Substituindo na definição:
Agrupando termos:
Agora usamos dois limites clássicos (mostro rapidamente por que valem):
-
. (Razão: para vale . Dividindo por e passando ao limite pela desigualdade obtém-se como único possível limite.) -
. (Usar a identidade . Então , que tende a porque e o fator .)
Aplicando esses limites:
Portanto a derivada de
é
.
Passo 3
Derivada de
. Mesma estratégia, usando a definição e a fórmula de soma para cosseno:
Usando
,
Usando os limites do passo anterior (
e
):
Portanto a derivada de
é
.
Passo 4
Derivada de
. Primeiro lembrar que
e que essa função só está definida quando
. Usamos a regra do quociente (se
e
são diferenciáveis e
então
). Aplicando com
e
:
Substituir as derivadas encontradas nos passos anteriores:
e
. Assim
Usando a identidade trigonométrica
,
Conclusão:
(válida onde
).
Passo 5
Derivada de
. Lembrar que
e está definida quando
. Usar a regra do quociente com
,
:
Substituir
e
:
Usando
,
Portanto
(onde
).
Passo 6
Derivada de
. Lembrar que
(definida quando
). Podemos derivar usando a regra do quociente com
e
, ou pensar em
e usar a regra da cadeia. Faço com quociente por ser direto:
Como
,
Reescrevendo
. Portanto
válido onde
.
Passo 7
Derivada de
. Como
(definida quando
), usamos a mesma ideia:
Com
,
Reescrevendo
. Logo
válido onde
.
Passo 8
Resumo rápido e dica para a prova (rápida, prática e motivadora): memorize bem as duas primeiras derivadas
e
; as demais podem ser obtidas facilmente usando divisão por
ou
e a regra do quociente. Lembra também as restrições:
e
exigem
;
e
exigem
. Vai dar certo — respira, repete as fórmulas e faz uns exercícios rápidos para fixar.