Calcule as derivadas das seguintes funções que combinam trigonometria, polinômios e regras de derivação:
q(x)=\operatorname{sec} x \cdot\left(x^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
q(x)=\operatorname{sec} x\cdot\left(x^{2}+1\right).
Informações importantes fornecidas:
  • A função é um produto entre \operatorname{sec} x e o polinômio \left(x^{2}+1\right).
  • O objetivo é calcular q'(x), a derivada de q em relação a x.

Passo 2

Regra que vou usar primeiro: a regra do produto. Se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
(uv)'=u'v+uv'.
Aqui escolho
u(x)=\operatorname{sec} x,\qquad v(x)=x^{2}+1.
Então
q'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Explico rapidinho: a regra do produto diz que a derivada do produto é a soma de “derivada da primeira vezes a segunda” mais “primeira vezes derivada da segunda”. Isso é uma regra básica que cai muito em prova — memorize essa fórmula.

Passo 3

Derivada do polinômio v(x)=x^{2}+1. Pelo regra da potência:
\frac{d}{dx}\,x^{n}=n x^{n-1}.
Aplicando com n=2:
v'(x)=\frac{d}{dx}\left(x^{2}+1\right)=2x+0=2x.
Explicação: a constante 1 some na derivada; o termo x^{2} vira 2x.

Passo 4

Derivada de u(x)=\operatorname{sec} x. Vou derivar usando a forma \operatorname{sec} x=(\cos x)^{-1} e a regra da cadeia. Se h(x)=(\cos x)^{-1}, então
h'(x)=-1\cdot(\cos x)^{-2}\cdot(\cos x)'.
Como (\cos x)'=-\sin x, temos
\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x=(\cos x)^{-1}{}' = -(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x)=\frac{\sin x}{\cos^{2}x}.
Agora uso identidades trigonométricas: \frac{1}{\cos x}=\operatorname{sec} x e \frac{\sin x}{\cos x}=\tan x. Assim
\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\frac{\sin x}{\cos^{2}x}=\left(\frac{1}{\cos x}\right)\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)=\operatorname{sec} x\tan x.
Resumo: \displaystyle u'(x)=\operatorname{sec} x\tan x. (Outra forma é obter isso pela regra do quociente diretamente em 1/\cos x, dá o mesmo resultado.)

Passo 5

Agora aplico a regra do produto com os derivados encontrados:
q'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)
q'(x)=(\operatorname{sec} x\tan x)\cdot\left(x^{2}+1\right)+\operatorname{sec} x\cdot(2x).
Posso fatorar \operatorname{sec} x para deixar mais enxuto:
q'(x)=\operatorname{sec} x\left(\tan x\,(x^{2}+1)+2x\right).
Essa forma factorizada é útil em prova porque mostra um fator comum e fica mais simples para avaliar ou manipular.

Passo 6

Checagem rápida por exemplo numérico (para ganhar confiança): em x=0,
\operatorname{sec} 0=1,\qquad \tan 0=0,\qquad x^{2}+1=1,\qquad 2x=0,
então
q'(0)=1\cdot(0\cdot 1+0)=0,
o que faz sentido: naquele ponto a contribuição da tangente some e o polinômio gera derivada zero também.

Resposta

\displaystyle q'(x)=\operatorname{sec} x\tan x\,(x^{2}+1)+2x\operatorname{sec} x=\operatorname{sec} x\bigl(\tan x\,(x^{2}+1)+2x\bigr)

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