Calcule as derivadas das seguintes funções que combinam trigonometria, polinômios e regras de derivação:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações importantes fornecidas:
- A função é um produto entre
e o polinômio . - O objetivo é calcular
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Regra que vou usar primeiro: a regra do produto. Se
e
são funções diferenciáveis, então
Aqui escolho
Então
Explico rapidinho: a regra do produto diz que a derivada do produto é a soma de “derivada da primeira vezes a segunda” mais “primeira vezes derivada da segunda”. Isso é uma regra básica que cai muito em prova — memorize essa fórmula.
Passo 3
Derivada do polinômio
. Pelo regra da potência:
Aplicando com
:
Explicação: a constante
some na derivada; o termo
vira
.
Passo 4
Derivada de
. Vou derivar usando a forma
e a regra da cadeia. Se
, então
Como
, temos
Agora uso identidades trigonométricas:
e
. Assim
Resumo:
. (Outra forma é obter isso pela regra do quociente diretamente em
, dá o mesmo resultado.)
Passo 5
Agora aplico a regra do produto com os derivados encontrados:
Posso fatorar
para deixar mais enxuto:
Essa forma factorizada é útil em prova porque mostra um fator comum e fica mais simples para avaliar ou manipular.
Passo 6
Checagem rápida por exemplo numérico (para ganhar confiança): em
,
então
o que faz sentido: naquele ponto a contribuição da tangente some e o polinômio gera derivada zero também.