Calcule as derivadas das seguintes funções que combinam trigonometria, polinômios e regras de derivação:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas e observações importantes (tirei isto do enunciado):
- A função é a razão entre
e . - Domínio (onde a função está definida):
(por divisão por ) e para todo (porque não existe quando ).
O pedido é apenas a derivada.
Passo 2
Escolha do método e reescrita para facilitar: é mais prático reescrever a função como produto, assim usamos a regra do produto (é uma regra básica e rápida aqui). Escrevo
Agora defino as partes do produto para aplicar a regra do produto:
Lembrete (regra do produto): se
e
são funções diferenciáveis, então
Ou seja: derivar a primeira multiplicar pela segunda não derivada, mais a primeira não derivada multiplicar pela segunda derivada. Fácil de memorizar: “deriva a primeira, mantém a segunda; mais mantém a primeira, deriva a segunda”.
Passo 3
Derivadas das partes (vou mostrar passo a passo como obter cada uma).
- Derivada de
. Regra da potência: para tem-se . Aqui , logo
Explicando em palavras: a potência diminui um e multiplica por o expoente.
- Derivada de
. Uma forma direta é lembrar que
onde
. Se quiser ver rapidinho usando a definição
e a regra do quociente:
Portanto
Passo 4
Aplicando a regra do produto
. Substituo as derivadas encontradas:
Agora simplifico passo a passo (mostrando cada etapa para você conseguir replicar na prova):
Posso também colocar num denominador comum
e fatorar o sinal negativo:
Se preferir expressar tudo em seno e cosseno, lembre que
e
; substituindo obtém-se outra forma equivalente:
Escolha a forma que achar mais limpa — todas são exactamente a mesma derivada, só escritas de maneiras diferentes.
Passo 5
Comentário final e checagem rápida: as formas
são equivalentes. Lembre-se de respeitar o domínio original ao avaliar
:
e
. Você pode usar qualquer uma dessas formas para calcular valores numéricos (por exemplo em
).