Calcule as derivadas das seguintes funções que combinam trigonometria, polinômios e regras de derivação:
r(x)=\frac{\operatorname{cotg} x}{x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
r(x)=\frac{\operatorname{cotg} x}{x}.
Informações dadas e observações importantes (tirei isto do enunciado):
  • A função é a razão entre \operatorname{cotg} x e x.
  • Domínio (onde a função está definida): x\neq 0 (por divisão por x) e x\neq k\pi para todo k\in\mathbb{Z} (porque \operatorname{cotg} x=\dfrac{\cos x}{\sin x} não existe quando \sin x=0).
    O pedido é apenas a derivada r'(x).

Passo 2

Escolha do método e reescrita para facilitar: é mais prático reescrever a função como produto, assim usamos a regra do produto (é uma regra básica e rápida aqui). Escrevo
r(x)=x^{-1}\operatorname{cotg} x.
Agora defino as partes do produto para aplicar a regra do produto:
u(x)=\operatorname{cotg} x,\qquad v(x)=x^{-1}.
Lembrete (regra do produto): se u e v são funções diferenciáveis, então
(uv)'=u'v+uv'.
Ou seja: derivar a primeira multiplicar pela segunda não derivada, mais a primeira não derivada multiplicar pela segunda derivada. Fácil de memorizar: “deriva a primeira, mantém a segunda; mais mantém a primeira, deriva a segunda”.

Passo 3

Derivadas das partes (vou mostrar passo a passo como obter cada uma).
  1. Derivada de v(x)=x^{-1}. Regra da potência: para x^{n} tem-se (x^{n})'=n x^{n-1}. Aqui n=-1, logo
v'(x)=(x^{-1})'=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}.
Explicando em palavras: a potência diminui um e multiplica por o expoente.
  1. Derivada de u(x)=\operatorname{cotg} x. Uma forma direta é lembrar que
\frac{d}{dx}\big(\cot x\big)=-\csc^2 x,
onde \csc x=\dfrac{1}{\sin x}. Se quiser ver rapidinho usando a definição \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x} e a regra do quociente:
\big(\cot x\big)'=\frac{(\cos x)'\sin x-\cos x(\sin x)'}{\sin^2 x}=\frac{(-\sin x)\sin x-\cos x\cos x}{\sin^2 x} =\frac{-(\sin^2 x+\cos^2 x)}{\sin^2 x}=-\frac{1}{\sin^2 x}=-\csc^2 x.
Portanto
u'(x)=-\csc^2 x.

Passo 4

Aplicando a regra do produto r'=u'v+uv'. Substituo as derivadas encontradas:
r'(x)=(-\csc^2 x)\cdot x^{-1}+\operatorname{cotg} x\cdot(-x^{-2}).
Agora simplifico passo a passo (mostrando cada etapa para você conseguir replicar na prova):
r'(x)=-\frac{\csc^2 x}{x}-\frac{\operatorname{cotg} x}{x^{2}}.
Posso também colocar num denominador comum x^{2} e fatorar o sinal negativo:
r'(x)=-\frac{x\csc^2 x+\operatorname{cotg} x}{x^{2}}.
Se preferir expressar tudo em seno e cosseno, lembre que \csc^2 x=\dfrac{1}{\sin^2 x} e \operatorname{cotg} x=\dfrac{\cos x}{\sin x}; substituindo obtém-se outra forma equivalente:
r'(x)=-\frac{1}{x\sin^2 x}-\frac{\cos x}{x^{2}\sin x} =-\frac{x+\cos x\sin x}{x^{2}\sin^2 x}.
Escolha a forma que achar mais limpa — todas são exactamente a mesma derivada, só escritas de maneiras diferentes.

Passo 5

Comentário final e checagem rápida: as formas
r'(x)=-\frac{\csc^2 x}{x}-\frac{\operatorname{cotg} x}{x^{2}} \quad\text{e}\quad r'(x)=-\frac{x\csc^2 x+\operatorname{cotg} x}{x^{2}}
são equivalentes. Lembre-se de respeitar o domínio original ao avaliar r'(x): x\neq 0 e x\neq k\pi. Você pode usar qualquer uma dessas formas para calcular valores numéricos (por exemplo em x=\pi/4).

Resposta

r'(x)=-\frac{\csc^2 x}{x}-\frac{\operatorname{cotg} x}{x^{2}}=-\frac{x\csc^2 x+\operatorname{cotg} x}{x^{2}}.

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