Calcule as derivadas das seguintes funções que combinam trigonometria, polinômios e regras de derivação:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
ou seja, encontrar
. Informação importante: a função está definida onde
. Não há outras informações no enunciado.
Passo 2
Escolha do método: é mais simples reescrever a função como produto para usar a regra do produto. Reescrevendo,
onde
. Essa forma torna a aplicação da regra do produto direta e evita manipular uma fração logo de cara.
Passo 3
Lembrando a regra do produto: se
e
são funções, então
Aqui tomamos
e
. Vamos calcular
e
separadamente.
Passo 4
Derivada de
: pela regra do poder (power rule),
Explicando: a regra do poder diz que
. Aplicando com
dá
.
Passo 5
Derivada de
: uma forma clara é escrever
e usar a regra da cadeia. Fazendo isso,
Como
, obtém-se
Também é comum escrever essa derivada em termos de
e
:
porque
.
Passo 6
Aplicando a regra do produto com
:
Ou seja,
Passo 7
Opcional: escrever a resposta sem
e
, apenas em
e
, para ver a forma em fração. Usando
e
,
Lembre-se do domínio: essa expressão só vale onde
.