Calcule as derivadas das seguintes funções que combinam trigonometria, polinômios e regras de derivação:
s(x)=\frac{x^{2}}{\cos x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
s(x)=\frac{x^{2}}{\cos x},
ou seja, encontrar s'(x). Informação importante: a função está definida onde \cos x \neq 0. Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

Escolha do método: é mais simples reescrever a função como produto para usar a regra do produto. Reescrevendo,
s(x)=x^{2}\operatorname{sec} x,
onde \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}. Essa forma torna a aplicação da regra do produto direta e evita manipular uma fração logo de cara.

Passo 3

Lembrando a regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
(uv)'=u'v+uv'.
Aqui tomamos u(x)=x^{2} e v(x)=\operatorname{sec} x. Vamos calcular u'(x) e v'(x) separadamente.

Passo 4

Derivada de u(x)=x^{2}: pela regra do poder (power rule),
u'(x)=2x.
Explicando: a regra do poder diz que \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Aplicando com n=2 2x.

Passo 5

Derivada de v(x)=\operatorname{sec} x: uma forma clara é escrever \operatorname{sec} x=(\cos x)^{-1} e usar a regra da cadeia. Fazendo isso,
v'(x)=\frac{d}{dx}(\cos x)^{-1} = -1\cdot(\cos x)^{-2}\cdot\frac{d}{dx}(\cos x).
Como \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x, obtém-se
v'(x) = -(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x)=\frac{\sin x}{\cos^{2}x}.
Também é comum escrever essa derivada em termos de \operatorname{sec} e \tan:
v'(x)=\operatorname{sec} x\,\tan x,
porque \dfrac{\sin x}{\cos^{2}x}=\dfrac{1}{\cos x}\cdot\dfrac{\sin x}{\cos x}=\operatorname{sec} x\,\tan x.

Passo 6

Aplicando a regra do produto com u',u,v',v:
s'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=2x\operatorname{sec} x + x^{2}\cdot(\operatorname{sec} x\,\tan x).
Ou seja,
s'(x)=\operatorname{sec} x\,(2x + x^{2}\tan x).

Passo 7

Opcional: escrever a resposta sem \operatorname{sec} e \tan, apenas em \sin e \cos, para ver a forma em fração. Usando \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x} e \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x},
s'(x)=\frac{2x}{\cos x} + \frac{x^{2}\sin x}{\cos^{2}x}=\frac{2x\cos x + x^{2}\sin x}{\cos^{2}x}.
Lembre-se do domínio: essa expressão só vale onde \cos x\neq 0.

Resposta

s'(x)=\operatorname{sec} x\,(2x + x^{2}\tan x)
s'(x)=\frac{2x\cos x + x^{2}\sin x}{\cos^{2}x}

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