Encontre o polinômio característico e os autovalores da matriz
A=\left(\begin{array}{ccc} 128 & -12 & -78 \\\\ 166 & -14 & -102 \\\\ 179 & -17 & -109 \end{array}\right),
usando o método de Leverrier-Faddeev.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a matriz
A=\begin{pmatrix} 128 & -12 & -78 \\\\ 166 & -14 & -102 \\\\ 179 & -17 & -109 \end{pmatrix}
  • Encontrar o polinômio característico de A.
  • Encontrar os autovalores (raízes do polinômio característico) de A.
As entradas da matriz foram todas fornecidas acima. Não há outras informações externas.

Passo 2

Vou explicar o método de Leverrier–Faddeev (versão prática que usaremos) antes de aplicar passo a passo. A ideia é produzir iterativamente coeficientes a_k do polinômio característico escrito na forma
\chi_A(\lambda)=\det(\lambda I - A)=\lambda^n + a_1\lambda^{n-1} + a_2\lambda^{n-2} + \cdots + a_n.
Para uma matriz n\times n definem-se as matrizes B_0=I e, para k=1,2,\dots,n,
a_k = -\frac{1}{k}\operatorname{tr}\!\bigl(A B_{k-1}\bigr), \qquad B_k = A B_{k-1} + a_k I.
No final, os a_k obtidos entram na fórmula acima. Uma observação prática útil: ao calcular \operatorname{tr}(A B_{k-1}) muitas vezes pode-se usar identidades do tipo \operatorname{tr}(A(A^{m}))=\operatorname{tr}(A^{m+1}) para evitar multiplicações completas de matrizes; por isso vamos também calcular \operatorname{tr}(A^k) quando for mais simples.

Passo 3

Calcular a traça \operatorname{tr}(A) (que usaremos já no primeiro passo do algoritmo):
\operatorname{tr}(A)=128+(-14)+(-109)=128-14-109=5.
Portanto \operatorname{tr}(A)=5.

Passo 4

Precisamos de \operatorname{tr}(A^2). Vou calcular A^2=A\cdot A com produto linha × coluna e mostrar os elementos diagonal (mas mostro a matriz inteira para ficar claro).
Cálculos dos elementos (exemplo de um cálculo): o elemento (1,1) é
128\cdot128 + (-12)\cdot166 + (-78)\cdot179 = 16384 -1992 -13962 = 430.
Fazendo as demais multiplicações linha × coluna obtemos
A^2=\begin{pmatrix} 430 & -42 & -258 \\\\ 666 & -62 & -402 \\\\ 579 & -57 & -347 \end{pmatrix}.
Agora a traça
\operatorname{tr}(A^2)=430 + (-62) + (-347)=430-62-347=21.
Portanto \operatorname{tr}(A^2)=21.

Passo 5

Precisamos também de \operatorname{tr}(A^3). Em vez de multiplicar A^3 inteira, uso que A^3=A\cdot A^2 e calculo os elementos diagonais de A^3 como produto da linha i de A pela coluna i de A^2.
Cálculos dos termos diagonais:
\begin{aligned} (A^3)_{11} &= (128,-12,-78)\cdot(430,666,579)=128\cdot430 -12\cdot666 -78\cdot579 = 1886,\\[4pt] (A^3)_{22} &= (166,-14,-102)\cdot(-42,-62,-57)=166(-42)+(-14)(-62)+(-102)(-57) = -290,\\[4pt] (A^3)_{33} &= (179,-17,-109)\cdot(-258,-402,-347)=179(-258)+(-17)(-402)+(-109)(-347) = -1525. \end{aligned}
Somando para obter a traça:
\operatorname{tr}(A^3)=1886 + (-290) + (-1525)=1886-1815=71.
Portanto \operatorname{tr}(A^3)=71.]

Passo 6

Agora aplico diretamente o procedimento de Leverrier–Faddeev, usando as traças calculadas para simplificar:
  • Começo com B_0=I.
k=1:
a_1 = -\frac{1}{1}\operatorname{tr}(A B_0) = -\operatorname{tr}(A) = -5.
Então a_1=-5 e
B_1 = A + a_1 I = A - 5I.
k=2:
\operatorname{tr}(A B_1)=\operatorname{tr}\bigl(A(A-5I)\bigr)=\operatorname{tr}(A^2)-5\operatorname{tr}(A)=21 - 5\cdot 5 = 21-25 = -4.
Logo
a_2 = -\frac{1}{2}\operatorname{tr}(A B_1) = -\frac{1}{2}(-4)=2.
Então a_2=2 e
B_2 = A B_1 + a_2 I = A^2 - 5A + 2I.
k=3:
\operatorname{tr}(A B_2)=\operatorname{tr}\bigl(A(A^2-5A+2I)\bigr)=\operatorname{tr}(A^3)-5\operatorname{tr}(A^2)+2\operatorname{tr}(A).
Substituindo as traças:
\operatorname{tr}(A B_2)=71 - 5\cdot21 + 2\cdot5 = 71 -105 +10 = -24.
Logo
a_3 = -\frac{1}{3}\operatorname{tr}(A B_2) = -\frac{1}{3}(-24)=8.
Portanto a_3=8. Como a matriz é 3\times3, paramos aqui.

Passo 7

Agora escrevemos o polinômio característico com os coeficientes a_1,a_2,a_3:
\chi_A(\lambda)=\lambda^3 + a_1\lambda^2 + a_2\lambda + a_3 = \lambda^3 -5\lambda^2 + 2\lambda + 8.
Para encontrar os autovalores, resolvemos \chi_A(\lambda)=0. Testando raízes inteiras divisoras de 8 vemos que \lambda=2 é raiz, pois
2^3 -5\cdot2^2 +2\cdot2 +8 = 8 -20 +4 +8 = 0.
Fazendo divisão sintética ou fatorando temos
\lambda^3 -5\lambda^2 +2\lambda +8 = (\lambda-2)(\lambda^2 -3\lambda -4).
A equação quadrática \lambda^2 -3\lambda -4=0 tem raízes
\lambda = \frac{3 \pm \sqrt{9 +16}}{2} = \frac{3\pm5}{2},
ou seja \lambda=4 e \lambda=-1.
Assim os autovalores são \{4,\,2,\,-1\}.

Resposta

\chi_A(\lambda)=\lambda^3-5\lambda^2+2\lambda+8
\lambda_1=4,\quad \lambda_2=2,\quad \lambda_3=-1

Exercícios relacionados