Calcule as derivadas das seguintes funções que combinam trigonometria, polinômios e regras de derivação:
Passo 1
O problema pede para calcular a derivada da função
Informações dadas (explicitando as partes da função):
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
(coesecante de ). - Terceiro termo:
.
A tarefa é encontrar
, a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Relembrando as regras que vamos usar (cada fórmula será explicada):
- Regra da linearidade: a derivada de soma/diferença é a soma/diferença das derivadas. Ou seja, se
então . - Regra do poder (power rule): para
(com real), vale
Aqui isso vale para
(no caso da raiz) e para
.
- Derivada de funções trigonométricas: vamos obter a derivada da
usando que e a regra da derivada do recíproco: se é diferenciável e , então
Usando
e
obtemos a derivada da
. Também usaremos as identidades trigonométricas
e
para reescrever o resultado numa forma usual.
Passo 3
Derivada do primeiro termo
.
Passo a passo:
- Reescreve-se
como potência: . - Aplica-se a regra do poder com
:
- Reescrevendo com raiz:
Portanto, a derivada do primeiro termo é
.
Passo 4
Derivada do segundo termo
.
Passo a passo usando recíproco:
- Escrever
. Defina , então . - Usa-se a regra do recíproco:
- Reescreve-se o resultado em termos de funções trigonométricas padrão:
Portanto, a derivada de
é
. (Dica de memorização: a derivada de
traz sinal negativo e um produto com
.)
Passo 5
Derivada do terceiro termo
.
Passo a passo:
- Aplica-se a regra do poder com
:
- Como há um sinal negativo multiplicando, a derivada é
.
Passo 6
Combinar os resultados usando linearidade (soma/diferença das derivadas).
Somando as derivadas dos três termos obtidos:
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
. - Terceiro termo:
.
Logo,
Passo 7
Observações finais sobre domínio (importante na hora da prova):
- A expressão
exige (em a derivada da raiz não existe finita). - A expressão
e exigem .
Portanto, a derivada acima é válida nos pontostais que e .
Força aí — você conseguiu chegar no resultado passo a passo!