Calcule as derivadas das seguintes funções que combinam trigonometria, polinômios e regras de derivação:
v(x)=\sqrt{x}+\csc x-x^{4}

Passo 1

O problema pede para calcular a derivada da função
v(x)=\sqrt{x}+\csc x-x^{4}.
Informações dadas (explicitando as partes da função):
  • Primeiro termo: \sqrt{x}.
  • Segundo termo: \csc x (coesecante de x).
  • Terceiro termo: -x^{4}.
A tarefa é encontrar v'(x), a derivada de v em relação a x.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (cada fórmula será explicada):
  • Regra da linearidade: a derivada de soma/diferença é a soma/diferença das derivadas. Ou seja, se v(x)=f(x)+g(x)-h(x) então v'(x)=f'(x)+g'(x)-h'(x).
  • Regra do poder (power rule): para f(x)=x^{n} (com n real), vale
f'(x)=n x^{n-1}.
Aqui isso vale para n=\tfrac{1}{2} (no caso da raiz) e para n=4.
  • Derivada de funções trigonométricas: vamos obter a derivada da \csc x usando que \csc x=\dfrac{1}{\sin x} e a regra da derivada do recíproco: se u(x) é diferenciável e g(x)=\dfrac{1}{u(x)}, então
g'(x)=-\frac{u'(x)}{u(x)^{2}}.
Usando u(x)=\sin x e u'(x)=\cos x obtemos a derivada da \csc x. Também usaremos as identidades trigonométricas \csc x=\dfrac{1}{\sin x} e \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x} para reescrever o resultado numa forma usual.

Passo 3

Derivada do primeiro termo \sqrt{x}.
Passo a passo:
  • Reescreve-se \sqrt{x} como potência: \sqrt{x}=x^{1/2}.
  • Aplica-se a regra do poder com n=\tfrac{1}{2}:
\frac{d}{dx}x^{1/2}=\tfrac{1}{2}x^{1/2-1}=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}.
  • Reescrevendo com raiz:
\tfrac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Portanto, a derivada do primeiro termo é \dfrac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Derivada do segundo termo \csc x.
Passo a passo usando recíproco:
  • Escrever \csc x=\dfrac{1}{\sin x}. Defina u(x)=\sin x, então u'(x)=\cos x.
  • Usa-se a regra do recíproco:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\sin x}\right)=-\frac{\cos x}{\sin^{2}x}.
  • Reescreve-se o resultado em termos de funções trigonométricas padrão:
-\frac{\cos x}{\sin^{2}x} = -\left(\frac{1}{\sin x}\right)\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right) = -\csc x\cot x.
Portanto, a derivada de \csc x é -\csc x\cot x. (Dica de memorização: a derivada de \csc x traz sinal negativo e um produto com \cot x.)

Passo 5

Derivada do terceiro termo -x^{4}.
Passo a passo:
  • Aplica-se a regra do poder com n=4:
\frac{d}{dx}x^{4}=4x^{3}.
  • Como há um sinal negativo multiplicando, a derivada é -4x^{3}.

Passo 6

Combinar os resultados usando linearidade (soma/diferença das derivadas).
Somando as derivadas dos três termos obtidos:
  • Primeiro termo: \dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
  • Segundo termo: -\csc x\cot x.
  • Terceiro termo: -4x^{3}.
Logo,
v'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\csc x\cot x-4x^{3}.

Passo 7

Observações finais sobre domínio (importante na hora da prova):
  • A expressão \dfrac{1}{2\sqrt{x}} exige x>0 (em x=0 a derivada da raiz não existe finita).
  • A expressão \csc x e \cot x exigem \sin x\neq 0.
    Portanto, a derivada acima é válida nos pontos x tais que x>0 e \sin x\neq 0.
Força aí — você conseguiu chegar no resultado passo a passo!

Resposta

v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\csc x\cot x-4x^{3}

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