Usando a definição de derivada, calcule as derivadas das seguintes funções trigonométricas:
g(x)=\cos x

Passo 1

O enunciado pede para calcular, usando a definição de derivada, a derivada da função g dada por
g(x)=\cos x.
Informações relevantes que temos:
  • A função está definida para todo x\in\mathbb{R} (função trigonométrica usual).
  • Deve-se usar a definição de derivada (não assumir fórmulas prontas).
  • O objetivo final é obter uma expressão que, para cada x, dê o valor de g'(x).

Passo 2

Relembrando a definição de derivada (isso é crucial): a derivada de uma função g num ponto x é o limite do quociente incremental quando o incremento tende a zero:
g'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}.
Aqui h é um pequeno incremento em x. Esse limite, quando existe, representa a taxa de variação instantânea de g em x — ou geometricamente, a inclinação da reta tangente ao gráfico de g em x.

Passo 3

Aplicando a definição à nossa função g(x)=\cos x, escrevemos o quociente incremental:
\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}.
Agora vamos manipular a diferença \cos(x+h)-\cos x usando uma identidade trigonométrica que vale para todos a,b:
\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.
Tomando a=x e b=h obtemos
\cos(x+h)=\cos x\cos h-\sin x\sin h.
Substituindo na diferença:
\cos(x+h)-\cos x=\cos x(\cos h-1)-\sin x\sin h.

Passo 4

Colocando isso sobre h e separando termos, obtemos
\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} = \cos x\cdot\frac{\cos h-1}{h} -\sin x\cdot\frac{\sin h}{h}.
Como \cos x e \sin x não dependem de h, ao fazermos o limite quando h\to 0 podemos tratar esses fatores como constantes multiplicando os limites das frações que envolvem apenas h:
g'(x)=\lim_{h\to 0}\left(\cos x\cdot\frac{\cos h-1}{h}-\sin x\cdot\frac{\sin h}{h}\right).
Pela linearidade do limite (quando os limites existem), isso é
g'(x)=\cos x\cdot\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h} -\sin x\cdot\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}.
Portanto precisamos avaliar os dois limites fundamentais
\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h} \quad\text{e}\quad \lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}.

Passo 5

Prova do primeiro limite \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1 (prova clássica geométrica, para quem não lembra):
  • Para 0<h<\tfrac{\pi}{2}, no círculo trigonométrico de raio 1 usa-se comparação de áreas/segmentos para obter a desigualdade
\cos h < \frac{\sin h}{h} < 1.
  • Como \cos h\to 1 quando h\to 0^+, pela desigualdade por apertamento (squeeze theorem) segue que \lim_{h\to 0^+}\dfrac{\sin h}{h}=1.
  • Para h<0 usa-se que \dfrac{\sin h}{h} é função par (pois \sin(-h)=-\sin h e o sinal cancela), logo o limite em 0 pela esquerda é o mesmo. Conclui-se
\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1.

Passo 6

Prova do segundo limite \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}=0:
  • Use a identidade de redução de ângulo:
\cos h-1 = -2\sin^2\!\left(\frac{h}{2}\right).
  • Então
\frac{\cos h-1}{h} = -2\cdot\frac{\sin^2\!\left(\frac{h}{2}\right)}{h} = -2\left(\frac{\sin\!\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}}\right)^{\!2}\cdot\frac{h}{2}\cdot\frac{1}{h}.
É mais simples reorganizar assim:
\frac{\cos h-1}{h} = -\left(\frac{\sin\!\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}}\right)^{\!2}\cdot\frac{h}{2}.
  • Como sabemos do passo anterior que \displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1, substituindo u=\tfrac{h}{2} obtemos \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h/2)}{(h/2)}=1. Assim o fator quadrado tende a 1, enquanto o fator \tfrac{h}{2} tende a 0. Portanto o produto tende a 0. Concluímos
\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}=0.

Passo 7

Retornando à expressão para g'(x) e substituindo os limites calculados:
g'(x)=\cos x\cdot 0 - \sin x\cdot 1 = -\sin x.
Logo o limite existe para todo x e a derivada de \cos x é -\sin x. Em palavras: a taxa de variação instantânea de \cos x no ponto x é -\sin x. Uma checagem rápida: para x=0 tem-se g'(0)=-\sin 0=0, que faz sentido porque o gráfico de \cos x tem tangente horizontal em x=0.

Resposta

g'(x)=-\sin x

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