Usando a definição de derivada, calcule as derivadas das seguintes funções trigonométricas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular, usando a definição de derivada, a derivada da função
dada por
Informações relevantes que temos:
- A função está definida para todo
(função trigonométrica usual). - Deve-se usar a definição de derivada (não assumir fórmulas prontas).
- O objetivo final é obter uma expressão que, para cada
, dê o valor de .
Passo 2
Relembrando a definição de derivada (isso é crucial): a derivada de uma função
num ponto
é o limite do quociente incremental quando o incremento tende a zero:
Aqui
é um pequeno incremento em
. Esse limite, quando existe, representa a taxa de variação instantânea de
em
— ou geometricamente, a inclinação da reta tangente ao gráfico de
em
.
Passo 3
Aplicando a definição à nossa função
, escrevemos o quociente incremental:
Agora vamos manipular a diferença
usando uma identidade trigonométrica que vale para todos
:
Tomando
e
obtemos
Substituindo na diferença:
Passo 4
Colocando isso sobre
e separando termos, obtemos
Como
e
não dependem de
, ao fazermos o limite quando
podemos tratar esses fatores como constantes multiplicando os limites das frações que envolvem apenas
:
Pela linearidade do limite (quando os limites existem), isso é
Portanto precisamos avaliar os dois limites fundamentais
Passo 5
Prova do primeiro limite
(prova clássica geométrica, para quem não lembra):
- Para
, no círculo trigonométrico de raio usa-se comparação de áreas/segmentos para obter a desigualdade
- Como
quando , pela desigualdade por apertamento (squeeze theorem) segue que . - Para
usa-se que é função par (pois e o sinal cancela), logo o limite em pela esquerda é o mesmo. Conclui-se
Passo 6
Prova do segundo limite
:
- Use a identidade de redução de ângulo:
- Então
É mais simples reorganizar assim:
- Como sabemos do passo anterior que
, substituindo obtemos . Assim o fator quadrado tende a , enquanto o fator tende a . Portanto o produto tende a . Concluímos
Passo 7
Retornando à expressão para
e substituindo os limites calculados:
Logo o limite existe para todo
e a derivada de
é
. Em palavras: a taxa de variação instantânea de
no ponto
é
. Uma checagem rápida: para
tem-se
, que faz sentido porque o gráfico de
tem tangente horizontal em
.