Calcule as derivadas das seguintes funções que combinam trigonometria, polinômios e regras de derivação:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes fornecidas:
- A função numeradora é
. - A função denominadora é
. - Precisa-se de
, a derivada em relação a .
Passo 2
Vamos escolher um método: como
é uma razão entre duas funções (numerador sobre denominador), a maneira padrão é usar a regra do quociente. A regra do quociente diz o seguinte: se
com
, então
Aqui:
-
(numerador), -
(denominador).
No próximo passo calculamose .
Passo 3
Calcular
e
.
Primeiro
. Derivada de uma soma e da função identidade é simples:
Agora
. Uma forma didática de ver a derivada de
é escrever
e aplicar a regra do quociente (ou memorizar que
). Fazendo rápido pela definição:
Portanto
(Observação:
, então
.)
Passo 4
Aplicar a regra do quociente com
já conhecidos:
Esta já é a forma direta da derivada. Vou mostrar também uma forma equivalente escrita com seno e cosseno para quem prefere ver tudo em termos desses dois:
Substituindo
e
na expressão anterior:
Passo 5
Resumo e observações finais didáticas:
- A forma mais direta e frequentemente usada na prova é
- Alternativamente, explicitando
e em seno/cosseno:
- Importante: as expressões só fazem sentido quando
(porque e não estão definidas em pontos onde ), e também (pois aparece no denominador). Fique atento a esses pontos na hora da prova.
Força aí — você já tem todas as etapas para reproduzir esse raciocínio na prova: identificar numerador/denominador, derivar cada um, aplicar a regra do quociente e, se quiser, simplificar.