Calcule as derivadas das seguintes funções que combinam trigonometria, polinômios e regras de derivação:
u(x)=\frac{\operatorname{tg} x}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
u(x)=\frac{\operatorname{tg} x}{x+1}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função numeradora é \operatorname{tg} x.
  • A função denominadora é x+1.
  • Precisa-se de u'(x), a derivada em relação a x.

Passo 2

Vamos escolher um método: como u(x) é uma razão entre duas funções (numerador sobre denominador), a maneira padrão é usar a regra do quociente. A regra do quociente diz o seguinte: se u(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)} com g(x)\neq0, então
u'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}.
Aqui:
  • f(x)=\operatorname{tg} x (numerador),
  • g(x)=x+1 (denominador).
    No próximo passo calculamos f'(x) e g'(x).

Passo 3

Calcular f'(x) e g'(x).
Primeiro g(x)=x+1. Derivada de uma soma e da função identidade é simples:
g'(x)=1.
Agora f(x)=\operatorname{tg} x. Uma forma didática de ver a derivada de \operatorname{tg} x é escrever \operatorname{tg} x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e aplicar a regra do quociente (ou memorizar que \dfrac{d}{dx}\operatorname{tg} x=\operatorname{sec}^{2}x). Fazendo rápido pela definição:
\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) =\frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^{2}x} =\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x} =\frac{1}{\cos^{2}x}=\operatorname{sec}^{2}x.
Portanto
f'(x)=\operatorname{sec}^{2}x.
(Observação: \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}, então \operatorname{sec}^{2}x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}.)

Passo 4

Aplicar a regra do quociente com f,f',g,g' já conhecidos:
u'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}} =\frac{\operatorname{sec}^{2}x\,(x+1)-\operatorname{tg} x\cdot 1}{(x+1)^{2}}.
Esta já é a forma direta da derivada. Vou mostrar também uma forma equivalente escrita com seno e cosseno para quem prefere ver tudo em termos desses dois:
Substituindo \operatorname{sec}^{2}x=\dfrac{1}{\cos^{2}x} e \operatorname{tg} x=\dfrac{\sin x}{\cos x} na expressão anterior:
u'(x)=\frac{\dfrac{x+1}{\cos^{2}x}-\dfrac{\sin x}{\cos x}}{(x+1)^{2}} =\frac{\dfrac{x+1-\sin x\cos x}{\cos^{2}x}}{(x+1)^{2}} =\frac{x+1-\sin x\cos x}{(x+1)^{2}\cos^{2}x}.

Passo 5

Resumo e observações finais didáticas:
  • A forma mais direta e frequentemente usada na prova é
u'(x)=\frac{\operatorname{sec}^{2}x\,(x+1)-\operatorname{tg} x}{(x+1)^{2}}.
  • Alternativamente, explicitando \operatorname{sec} e \operatorname{tg} em seno/cosseno:
u'(x)=\frac{x+1-\sin x\cos x}{(x+1)^{2}\cos^{2}x}.
  • Importante: as expressões só fazem sentido quando \cos x\neq0 (porque \operatorname{tg} x e \operatorname{sec} x não estão definidas em pontos onde \cos x=0), e também x\neq-1 (pois x+1 aparece no denominador). Fique atento a esses pontos na hora da prova.
Força aí — você já tem todas as etapas para reproduzir esse raciocínio na prova: identificar numerador/denominador, derivar cada um, aplicar a regra do quociente e, se quiser, simplificar.

Resposta

\displaystyle u'(x)=\frac{\operatorname{sec}^{2}x\,(x+1)-\operatorname{tg} x}{(x+1)^{2}}=\frac{x+1-\sin x\cos x}{(x+1)^{2}\cos^{2}x}

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