Calcule as derivadas das seguintes funções que combinam trigonometria, polinômios e regras de derivação:
t(x)=x^{3} \operatorname{tg} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
t(x)=x^{3}\tan x.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é o produto de duas partes: uma parte polinomial \,x^{3}\, e uma parte trigonométrica \,\tan x.
  • Não há valores numéricos específicos a avaliar — a tarefa é encontrar a expressão da derivada simbólica t'(x).
  • É importante lembrar que \tan x (e funções relacionadas como \operatorname{sec} x) não estão definidas quando \cos x=0; isso afeta o domínio da derivada.

Passo 2

Regra que vamos usar: regra do produto. Ela diz que, se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então a derivada do produto é
(u\cdot v)' = u'\cdot v + u\cdot v'.
Explicando: u' é a derivada de u(x) em relação a x, e v' é a derivada de v(x) em relação a x. A regra do produto soma “derivar a primeira mantendo a segunda” com “manter a primeira e derivar a segunda”. É uma regra padrão que aparece sempre que temos produtos de funções.

Passo 3

Identificamos as duas funções do produto:
u(x)=x^{3},\qquad v(x)=\tan x.
Agora calculamos u'(x) usando a regra do poder (power rule): se u(x)=x^{n} com n constante, então u'(x)=n x^{n-1}. Aplicando:
u'(x) = 3x^{2}.
Explicação curta: derivar x^{3} 3x^{2} porque se multiplica o expoente pelo coeficiente e reduz o expoente em uma unidade.

Passo 4

Precisamos de v'(x), ou seja, da derivada de \tan x. Uma maneira didática de obter isso é escrever \tan x como quociente \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e usar a regra do quociente. A regra do quociente diz que, para v(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)},
v'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}.
Aqui f(x)=\sin x com f'(x)=\cos x, e g(x)=\cos x com g'(x)=-\sin x. Aplicando:
\begin{aligned} \frac{d}{dx}\tan x &= \frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^{2}x} \\\ &= \frac{\cos^{2}x + \sin^{2}x}{\cos^{2}x}. \end{aligned}
Como vale a identidade trigonométrica \sin^{2}x+\cos^{2}x=1, isso fica
\frac{1}{\cos^{2}x}=\operatorname{sec}^{2}x.
Portanto
v'(x)=\operatorname{sec}^{2}x.
Observação: muitos já decoram que \dfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x, mas aqui mostramos passo a passo de onde vem.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto com u,u',v,v' já calculados:
t'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo:
t'(x)=3x^{2}\tan x + x^{3}\operatorname{sec}^{2}x.
Essa já é uma forma correta da derivada. Podemos também fatorar x^{2} para deixar um pouco mais compacto:
t'(x)=x^{2}\bigl(3\tan x + x\operatorname{sec}^{2}x\bigr).
Se quiser escrever tudo em termos de \sin e \cos, use \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e \operatorname{sec}^{2}x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}; por exemplo:
t'(x)=3x^{2}\frac{\sin x}{\cos x} + x^{3}\frac{1}{\cos^{2}x}.
Mas a forma com \operatorname{sec}^{2}x costuma ser mais curta e clara.

Passo 6

Comentário sobre domínio (útil na prova): \tan x e \operatorname{sec} x não estão definidas quando \cos x=0, isto é, em pontos x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi com k\in\mathbb{Z}. Logo t'(x) está definida para todos os x tais que \cos x\neq0.

Resposta

t'(x)=3x^{2}\tan x + x^{3}\operatorname{sec}^{2}x
\text{(forma equivalente fatorada: }t'(x)=x^{2}\bigl(3\tan x + x\operatorname{sec}^{2}x\bigr)\text{)}

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