Calcule as derivadas das seguintes funções que combinam trigonometria, polinômios e regras de derivação:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é o produto de duas partes: uma parte polinomial
e uma parte trigonométrica . - Não há valores numéricos específicos a avaliar — a tarefa é encontrar a expressão da derivada simbólica
. - É importante lembrar que
(e funções relacionadas como ) não estão definidas quando ; isso afeta o domínio da derivada.
Passo 2
Regra que vamos usar: regra do produto. Ela diz que, se
e
são funções diferenciáveis, então a derivada do produto é
Explicando:
é a derivada de
em relação a
, e
é a derivada de
em relação a
. A regra do produto soma “derivar a primeira mantendo a segunda” com “manter a primeira e derivar a segunda”. É uma regra padrão que aparece sempre que temos produtos de funções.
Passo 3
Identificamos as duas funções do produto:
Agora calculamos
usando a regra do poder (power rule): se
com
constante, então
. Aplicando:
Explicação curta: derivar
dá
porque se multiplica o expoente pelo coeficiente e reduz o expoente em uma unidade.
Passo 4
Precisamos de
, ou seja, da derivada de
. Uma maneira didática de obter isso é escrever
como quociente
e usar a regra do quociente. A regra do quociente diz que, para
,
Aqui
com
, e
com
. Aplicando:
Como vale a identidade trigonométrica
, isso fica
Portanto
Observação: muitos já decoram que
, mas aqui mostramos passo a passo de onde vem.
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto com
já calculados:
Substituindo:
Essa já é uma forma correta da derivada. Podemos também fatorar
para deixar um pouco mais compacto:
Se quiser escrever tudo em termos de
e
, use
e
; por exemplo:
Mas a forma com
costuma ser mais curta e clara.
Passo 6
Comentário sobre domínio (útil na prova):
e
não estão definidas quando
, isto é, em pontos
com
. Logo
está definida para todos os
tais que
.