Pergunta explicitamente: calcular o número \det(A).
Informações relevantes dadas:
A matriz A é uma matriz quadrada 6\times6.
Todos os elementos da matriz foram fornecidos. Não há imagens ou dados externos adicionais.
Passo 2
Plano de solução (resumo didático do método que será usado):
Usar operações elementares por linhas para transformar A em forma triangular superior, de modo a poder calcular o determinante como o produto dos elementos da diagonal, levando em conta como cada operação altera o determinante.
Lembrete das regras importantes (essas são ferramentas que vou usar; leia com carinho):
Trocar duas linhas altera o sinal do determinante: se trocar linhas, multiplica-se o determinante por -1.
Somar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k. (Obs.: evitaremos multiplicar linhas por escalares, preferindo somas de múltiplos para manter números inteiros quando possível.)
Vou primeiro usar a primeira linha como pivô e zerar toda a primeira coluna abaixo dela com operações do tipo R_i \leftarrow R_i - k R_1. Essas operações não mudam o determinante. Depois expandirei a computação para a submatriz 5\times5 que sobra e a triangularizarei.
Passo 3
Zerar a primeira coluna abaixo do pivô a_{11}=1 usando operações por linhas (essas operações não alteram o determinante).
Faço, para i=2,\dots,6:
Vou triangularizar M para obter \det(M). Para facilitar a eliminação, troquei a primeira linha de M com a segunda linha (essa troca muda o sinal do determinante de M). Escrevendo essa troca:
Agora eliminação de Gauss em M_{\text{novo}} usando operações do tipo R_i\leftarrow R_i - \lambda R_1 (essas operações não alteram o determinante). Vou mostrar os fatores usados e as linhas resultantes (trabalhando coluna a coluna).
Pivô na posição (1,1) vale 4.
Para zerar entrada (2,1)=-3: fator \lambda = \dfrac{-3}{4}. Nova R_2 = R_2 - \lambda R_1 = R_2 + \tfrac{3}{4}R_1.
Para zerar (3,1)=-6: fator \lambda = \dfrac{-6}{4}=-\tfrac{3}{2}. Nova R_3 = R_3 + \tfrac{3}{2}R_1.
Para zerar (4,1)=-5: fator \lambda = \dfrac{-5}{4}. Nova R_4 = R_4 + \tfrac{5}{4}R_1.
Para zerar (5,1)=3: fator \lambda = \dfrac{3}{4}. Nova R_5 = R_5 - \tfrac{3}{4}R_1.
Depois de aplicar esses, as linhas 2 a 5 (apenas colunas 2 a 5 listadas) ficam, com contas explícitas:
Finalmente, pivot na posição (4,4)=-8. Zerar o elemento abaixo:
Fator para R_5 é \dfrac{-3}{-8}=\tfrac{3}{8}. Faço R_5 \leftarrow R_5 - \tfrac{3}{8}R_4.
Isso deixa a linha 5 com última entrada -\tfrac{1}{8} (e entrada na coluna 4 zerada). Agora a matriz está em forma triangular superior, e a diagonal (das 5 colunas relevantes) é
O determinante da matriz triangular obtida (que é igual ao determinante de M_{\text{novo}} porque apenas foram usadas operações do tipo “somar múltiplo de linha”) é o produto desses elementos: