4- Calcule o determinante:
A=\left[\begin{array}{llllll} 1 & 2 & 0 & 3 & 1 & 4 \\\\ 2 & 1 & 3 & 0 & 5 & 2 \\\\ 0 & 4 & 2 & 1 & 3 & 1 \\\\ 3 & 0 & 1 & 2 & 4 & 5 \\\\ 4 & 3 & 5 & 1 & 2 & 0 \\\\ 1 & 5 & 2 & 4 & 0 & 3 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz A. A matriz fornecida é
A=\left[\begin{array}{rrrrrr} 1 & 2 & 0 & 3 & 1 & 4 \\\\ 2 & 1 & 3 & 0 & 5 & 2 \\\\ 0 & 4 & 2 & 1 & 3 & 1 \\\\ 3 & 0 & 1 & 2 & 4 & 5 \\\\ 4 & 3 & 5 & 1 & 2 & 0 \\\\ 1 & 5 & 2 & 4 & 0 & 3 \end{array}\right].
Pergunta explicitamente: calcular o número \det(A).
Informações relevantes dadas:
  • A matriz A é uma matriz quadrada 6\times6.
  • Todos os elementos da matriz foram fornecidos. Não há imagens ou dados externos adicionais.

Passo 2

Plano de solução (resumo didático do método que será usado):
  • Usar operações elementares por linhas para transformar A em forma triangular superior, de modo a poder calcular o determinante como o produto dos elementos da diagonal, levando em conta como cada operação altera o determinante.
  • Lembrete das regras importantes (essas são ferramentas que vou usar; leia com carinho):
    • Trocar duas linhas altera o sinal do determinante: se trocar linhas, multiplica-se o determinante por -1.
    • Somar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
    • Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k. (Obs.: evitaremos multiplicar linhas por escalares, preferindo somas de múltiplos para manter números inteiros quando possível.)
  • Vou primeiro usar a primeira linha como pivô e zerar toda a primeira coluna abaixo dela com operações do tipo R_i \leftarrow R_i - k R_1. Essas operações não mudam o determinante. Depois expandirei a computação para a submatriz 5\times5 que sobra e a triangularizarei.

Passo 3

Zerar a primeira coluna abaixo do pivô a_{11}=1 usando operações por linhas (essas operações não alteram o determinante).
Faço, para i=2,\dots,6:
\begin{aligned} R_2 &\leftarrow R_2 - 2R_1,\\\ R_3 &\leftarrow R_3 - 0\cdot R_1\\ (\text{ou seja, }R_3\text{ fica igual}),\\\ R_4 &\leftarrow R_4 - 3R_1,\\\ R_5 &\leftarrow R_5 - 4R_1,\\\ R_6 &\leftarrow R_6 - R_1. \end{aligned}
Cálculo explícito (mostrando cada linha resultante):
\begin{aligned} R_1 &= [1,\,2,\,0,\,3,\,1,\,4],\\[2pt] R_2 &\leftarrow [2,1,3,0,5,2] - 2[1,2,0,3,1,4] = [0,\,-3,\,3,\,-6,\,3,\,-6],\\[2pt] R_3 &\leftarrow [0,4,2,1,3,1]\quad(\text{permanece}),\\[2pt] R_4 &\leftarrow [3,0,1,2,4,5] - 3[1,2,0,3,1,4] = [0,\,-6,\,1,\,-7,\,1,\,-7],\\[2pt] R_5 &\leftarrow [4,3,5,1,2,0] - 4[1,2,0,3,1,4] = [0,\,-5,\,5,\,-11,\,-2,\,-16],\\[2pt] R_6 &\leftarrow [1,5,2,4,0,3] - [1,2,0,3,1,4] = [0,\,3,\,2,\,1,\,-1,\,-1]. \end{aligned}
Agora a primeira coluna ficou [1,0,0,0,0,0]^T. Pelo desenvolvimento por cofator na primeira coluna:
\det(A)=1\cdot\det(M),
onde M é a submatriz 5\times5 obtida eliminando a primeira linha e a primeira coluna (isto é, linhas 2 a 6 e colunas 2 a 6 da matriz resultante).
A submatriz M é
M=\left[\begin{array}{rrrrr} -3 & 3 & -6 & 3 & -6\\\\ 4 & 2 & 1 & 3 & 1\\\\ -6 & 1 & -7 & 1 & -7\\\\ -5 & 5 & -11 & -2 & -16\\\\ 3 & 2 & 1 & -1 & -1 \end{array}\right].]

Passo 4

Vou triangularizar M para obter \det(M). Para facilitar a eliminação, troquei a primeira linha de M com a segunda linha (essa troca muda o sinal do determinante de M). Escrevendo essa troca:
\text{troca }R_1\leftrightarrow R_2 \implies \det(M_{\text{novo}}) = -\det(M).
Após a troca, a matriz fica
M_{\text{novo}}=\left[\begin{array}{rrrrr} 4 & 2 & 1 & 3 & 1\\\\ -3 & 3 & -6 & 3 & -6\\\\ -6 & 1 & -7 & 1 & -7\\\\ -5 & 5 & -11 & -2 & -16\\\\ 3 & 2 & 1 & -1 & -1 \end{array}\right].

Passo 5

Agora eliminação de Gauss em M_{\text{novo}} usando operações do tipo R_i\leftarrow R_i - \lambda R_1 (essas operações não alteram o determinante). Vou mostrar os fatores usados e as linhas resultantes (trabalhando coluna a coluna).
Pivô na posição (1,1) vale 4.
  • Para zerar entrada (2,1)=-3: fator \lambda = \dfrac{-3}{4}. Nova R_2 = R_2 - \lambda R_1 = R_2 + \tfrac{3}{4}R_1.
  • Para zerar (3,1)=-6: fator \lambda = \dfrac{-6}{4}=-\tfrac{3}{2}. Nova R_3 = R_3 + \tfrac{3}{2}R_1.
  • Para zerar (4,1)=-5: fator \lambda = \dfrac{-5}{4}. Nova R_4 = R_4 + \tfrac{5}{4}R_1.
  • Para zerar (5,1)=3: fator \lambda = \dfrac{3}{4}. Nova R_5 = R_5 - \tfrac{3}{4}R_1.
Depois de aplicar esses, as linhas 2 a 5 (apenas colunas 2 a 5 listadas) ficam, com contas explícitas:
\begin{aligned} R_2 &\to \left[\,\tfrac{9}{2},\; -\tfrac{21}{4},\; \tfrac{21}{4},\; -\tfrac{21}{4}\,\right],\\[4pt] R_3 &\to \left[\,4,\; -\tfrac{11}{2},\; \tfrac{11}{2},\; -\tfrac{11}{2}\,\right],\\[4pt] R_4 &\to \left[\,\tfrac{15}{2},\; -\tfrac{39}{4},\; \tfrac{7}{4},\; -\tfrac{59}{4}\,\right],\\[4pt] R_5 &\to \left[\,\tfrac{1}{2},\; \tfrac{1}{4},\; -\tfrac{13}{4},\; -\tfrac{7}{4}\,\right]. \end{aligned}
Assim a matriz fica
\left[\begin{array}{rrrrr} 4 & 2 & 1 & 3 & 1\\[2pt] 0 & \tfrac{9}{2} & -\tfrac{21}{4} & \tfrac{21}{4} & -\tfrac{21}{4}\\[2pt] 0 & 4 & -\tfrac{11}{2} & \tfrac{11}{2} & -\tfrac{11}{2}\\[2pt] 0 & \tfrac{15}{2} & -\tfrac{39}{4} & \tfrac{7}{4} & -\tfrac{59}{4}\\[2pt] 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{4} & -\tfrac{13}{4} & -\tfrac{7}{4} \end{array}\right].]

Passo 6

Continuo a eliminação no sub-bloco 4\times4 (linhas 2 a 5, colunas 2 a 5). O pivô atual é a_{22}=\tfrac{9}{2}.
Zerar entradas abaixo em coluna 2:
  • Para a linha 3: fator \lambda = \dfrac{4}{9/2} = \dfrac{8}{9}. Faço R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{8}{9}R_2.
  • Para a linha 4: fator \lambda = \dfrac{15/2}{9/2} = \dfrac{15}{9}=\dfrac{5}{3}. Faço R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac{5}{3}R_2.
  • Para a linha 5: fator \lambda = \dfrac{1/2}{9/2} = \dfrac{1}{9}. Faço R_5 \leftarrow R_5 - \tfrac{1}{9}R_2.
Após essas operações (mostrando somente as colunas 3,4,5, pois colunas 1 e 2 já estão triangulares), obtém-se:
\begin{aligned} R_3 &\to \left[\,0,\; \tfrac{5}{6},\; -\tfrac{5}{6}\,\right]\\ \text{(nas colunas 3,4,5 resulta }[-\tfrac{5}{6},\tfrac{5}{6},-\tfrac{5}{6}]\text{)},\\[4pt] R_4 &\to \left[\, -1,\; -7,\; -6\,\right]\\ \text{(isto é, colunas 3,4,5 resultam }[-1,-7,-6]\text{)},\\[4pt] R_5 &\to \left[\, \tfrac{5}{6},\; -\tfrac{23}{6},\; -\tfrac{7}{6}\,\right]\\ \text{(colunas 3,4,5).} \end{aligned}é
Colocando tudo, a matriz está agora
\left[\begin{array}{rrrrr} 4 & 2 & 1 & 3 & 1\\[2pt] 0 & \tfrac{9}{2} & -\tfrac{21}{4} & \tfrac{21}{4} & -\tfrac{21}{4}\\[2pt] 0 & 0 & -\tfrac{5}{6} & \tfrac{5}{6} & -\tfrac{5}{6}\\[2pt] 0 & 0 & -1 & -7 & -6\\[2pt] 0 & 0 & \tfrac{5}{6} & -\tfrac{23}{6} & -\tfrac{7}{6} \end{array}\right].]

Passo 7

Agora elimino abaixo do pivô da coluna 3, que é a_{33}=-\tfrac{5}{6}.
  • Para a linha 4: fator \lambda = \dfrac{-1}{-5/6} = \dfrac{6}{5}. Faço R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac{6}{5}R_3.
  • Para a linha 5: fator \lambda = \dfrac{5/6}{-5/6} = -1. Faço R_5 \leftarrow R_5 - (-1)R_3 = R_5 + R_3.
Resultados nas colunas 4 e 5:
\begin{aligned} R_4 &\to [\,0,\; -8,\; -5\,] \\ \text{(nas colunas 3,4,5 aparece }[0,-8,-5]\text{)},\\[4pt] R_5 &\to [\,0,\; -3,\; -2\,] \\ \text{(nas colunas 3,4,5).} \end{aligned}
Agora a matriz é
\left[\begin{array}{rrrrr} 4 & 2 & 1 & 3 & 1\\[2pt] 0 & \tfrac{9}{2} & -\tfrac{21}{4} & \tfrac{21}{4} & -\tfrac{21}{4}\\[2pt] 0 & 0 & -\tfrac{5}{6} & \tfrac{5}{6} & -\tfrac{5}{6}\\[2pt] 0 & 0 & 0 & -8 & -5\\[2pt] 0 & 0 & 0 & -3 & -2 \end{array}\right].]

Passo 8

Finalmente, pivot na posição (4,4)=-8. Zerar o elemento abaixo:
  • Fator para R_5 é \dfrac{-3}{-8}=\tfrac{3}{8}. Faço R_5 \leftarrow R_5 - \tfrac{3}{8}R_4.
Isso deixa a linha 5 com última entrada -\tfrac{1}{8} (e entrada na coluna 4 zerada). Agora a matriz está em forma triangular superior, e a diagonal (das 5 colunas relevantes) é
4,\quad \tfrac{9}{2},\quad -\tfrac{5}{6},\quad -8,\quad -\tfrac{1}{8}.
O determinante da matriz triangular obtida (que é igual ao determinante de M_{\text{novo}} porque apenas foram usadas operações do tipo “somar múltiplo de linha”) é o produto desses elementos:
\det(M_{\text{novo}})=4\cdot \tfrac{9}{2}\cdot\left(-\tfrac{5}{6}\right)\cdot(-8)\cdot\left(-\tfrac{1}{8}\right).
Calcule passo a passo:
4\cdot\tfrac{9}{2}=18,\qquad 18\cdot\left(-\tfrac{5}{6}\right)=-15,\qquad -15\cdot(-8)=120,\qquad 120\cdot\left(-\tfrac{1}{8}\right)=-15.
Portanto \det(M_{\text{novo}})=-15.

Passo 9

Lembrando da troca que fiz no Passo 4: \det(M_{\text{novo}}) = -\det(M). Assim
\det(M) = -\det(M_{\text{novo}}) = -(-15)=15.
E do Passo 3 vimos que \det(A)=1\cdot\det(M). Portanto
\det(A)=15.

Resposta

15

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