O enunciado dá um sistema linear com quatro equações e quatro incógnitas x,y,z,w\) e pede a solução \((x,y,z,w)\). As equações são:
\[\begin{cases} 2x+y-z+3w=7,\\[4pt] x+3y+2z-w=4,\\[4pt] 3x-y+z+2w=10,\\[4pt] x+2y+4z+3w=9. \end{cases}
Informações relevantes que temos: são coeficientes inteiros e há exatamente tantas equações quanto incógnitas (4), então esperamos uma solução única (a não ser que as equações sejam dependentes). Vou resolver buscando os valores de (x,y,z,w].]
Passo 2
Método escolhido: eliminação de Gauss (eliminação por linhas) porque é um método direto para sistemas lineares que organiza equações em forma triangular e depois faz substituição regressiva. Vou usar operações elementares sobre linhas:
trocar duas linhas;
somar a uma linha um múltiplo de outra;
multiplicar uma linha por escalar não nulo.
Essas operações não mudam o conjunto solução. Vou montar a matriz aumentada e eliminar abaixo dos pivôs para chegar a uma matriz triangular superior.
Passo 3
Matriz aumentada inicial (colunas: x,y,z,w e coluna aumentada com termos constantes):
Para o segundo pivô (coluna 2) é conveniente usar a linha com coeficiente pequeno em módulo para evitar números grandes. Troco R_2 com R_4 (assim o pivô ficará -1):
Queremos eliminar o coeficiente da coluna 3 em R_4 usando R_3. Para evitar frações precoces, combino as linhas inteiramente em inteiros: calcule 3R_3 - 5R_4. Isso é equivalente a uma sequência de operações elementares (escalonar e somar) e produz um zero nas três primeiras colunas: