Resolva:
\left\{\begin{array}{c} 2 x+y-z+3 w=7 \\\ x+3 y+2 z-w=4 \\\\ 3 x-y+z+2 w=10 \\\ x+2 y+4 z+3 w=9 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com quatro equações e quatro incógnitas x,y,z,w\) e pede a solução \((x,y,z,w)\). As equações são: \[\begin{cases} 2x+y-z+3w=7,\\[4pt] x+3y+2z-w=4,\\[4pt] 3x-y+z+2w=10,\\[4pt] x+2y+4z+3w=9. \end{cases}
Informações relevantes que temos: são coeficientes inteiros e há exatamente tantas equações quanto incógnitas (4), então esperamos uma solução única (a não ser que as equações sejam dependentes). Vou resolver buscando os valores de (x,y,z,w].]

Passo 2

Método escolhido: eliminação de Gauss (eliminação por linhas) porque é um método direto para sistemas lineares que organiza equações em forma triangular e depois faz substituição regressiva. Vou usar operações elementares sobre linhas:
  • trocar duas linhas;
  • somar a uma linha um múltiplo de outra;
  • multiplicar uma linha por escalar não nulo.
    Essas operações não mudam o conjunto solução. Vou montar a matriz aumentada e eliminar abaixo dos pivôs para chegar a uma matriz triangular superior.

Passo 3

Matriz aumentada inicial (colunas: x,y,z,w e coluna aumentada com termos constantes):
\left[\begin{array}{rrrr|r} 2 & 1 & -1 & 3 & 7\\[4pt] 1 & 3 & 2 & -1 & 4\\[4pt] 3 & -1 & 1 & 2 & 10\\[4pt] 1 & 2 & 4 & 3 & 9 \end{array}\right]
Para facilitar, troco a linha 1 com a linha 2 (assim o pivô da primeira coluna fica 1, o que simplifica cálculos):
R_1 \leftrightarrow R_2
Resultado:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 3 & 2 & -1 & 4\\[4pt] 2 & 1 & -1 & 3 & 7\\[4pt] 3 & -1 & 1 & 2 & 10\\[4pt] 1 & 2 & 4 & 3 & 9 \end{array}\right]]

Passo 4

Elimino os elementos abaixo do pivô da coluna 1 usando R_1:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1: R_2: \;[2,1,-1,3|7] - 2\cdot[1,3,2,-1|4] = [0,-5,-5,5|-1].
  • R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1: R_3: \;[3,-1,1,2|10] - 3\cdot[1,3,2,-1|4] = [0,-10,-5,5|-2].
  • R_4 \leftarrow R_4 - R_1: R_4: \;[1,2,4,3|9] - [1,3,2,-1|4] = [0,-1,2,4|5].
Agora a matriz é:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 3 & 2 & -1 & 4\\[4pt] 0 & -5 & -5 & 5 & -1\\[4pt] 0 & -10 & -5 & 5 & -2\\[4pt] 0 & -1 & 2 & 4 & 5 \end{array}\right]]

Passo 5

Para o segundo pivô (coluna 2) é conveniente usar a linha com coeficiente pequeno em módulo para evitar números grandes. Troco R_2 com R_4 (assim o pivô ficará -1):
R_2 \leftrightarrow R_4
Fica:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 3 & 2 & -1 & 4\\[4pt] 0 & -1 & 2 & 4 & 5\\[4pt] 0 & -10 & -5 & 5 & -2\\[4pt] 0 & -5 & -5 & 5 & -1 \end{array}\right]]

Passo 6

Elimino os coeficientes abaixo do pivô da coluna 2 (usa-se R_2):
  • R_3 \leftarrow R_3 - 10 R_2 (porque -10 - 10\cdot(-1)=0): R_3: \;[0,-10,-5,5|-2] - 10\cdot[0,-1,2,4|5] = [0,0,-25,-35|-52].
  • R_4 \leftarrow R_4 - 5 R_2 (porque -5 - 5\cdot(-1)=0): R_4: \;[0,-5,-5,5|-1] - 5\cdot[0,-1,2,4|5] = [0,0,-15,-15|-26].
Agora a matriz triangular superior parcial é:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 3 & 2 & -1 & 4\\[4pt] 0 & -1 & 2 & 4 & 5\\[4pt] 0 & 0 & -25 & -35 & -52\\[4pt] 0 & 0 & -15 & -15 & -26 \end{array}\right]]

Passo 7

Queremos eliminar o coeficiente da coluna 3 em R_4 usando R_3. Para evitar frações precoces, combino as linhas inteiramente em inteiros: calcule 3R_3 - 5R_4. Isso é equivalente a uma sequência de operações elementares (escalonar e somar) e produz um zero nas três primeiras colunas:
3R_3 - 5R_4 = 3\cdot[0,0,-25,-35|-52] - 5\cdot[0,0,-15,-15|-26] = [0,0,0,-30|-26].
Substituindo R_4 por essa combinação obtemos uma linha com uma única incógnita w:
[0,0,0,-30|-26].
Isso representa a equação -30w = -26. Logo
w = \frac{-26}{-30} = \frac{13}{15}.

Passo 8

Agora faço substituição retroativa para encontrar z. Uso a equação representada por R_3:
-25z -35w = -52.
Substituo w=\dfrac{13}{15}:
-25z -35\cdot\frac{13}{15} = -52.
Calcule 35\cdot\frac{13}{15}=\frac{35\cdot13}{15}=\frac{7\cdot13}{3}=\frac{91}{3}. Multiplicando ambos os lados por 3 para evitar frações:
-75z -91 = -156.
Logo
-75z = -156 +91 = -65 \quad\Rightarrow\quad z = \frac{-65}{-75} = \frac{65}{75} = \frac{13}{15}.

Passo 9

Agora uso R_2 para achar y. A linha R_2 corresponde a
-y + 2z + 4w = 5.
Substituo z=\dfrac{13}{15} e w=\dfrac{13}{15}:
-y + 2\cdot\frac{13}{15} + 4\cdot\frac{13}{15} = 5.
Combine 2+4=6, então 6\cdot\frac{13}{15}=\frac{78}{15}=\frac{26}{5}. Assim
-y + \frac{26}{5} = 5.
Convertendo 5=\dfrac{25}{5}:
-y = \frac{25}{5}-\frac{26}{5} = -\frac{1}{5} \quad\Rightarrow\quad y = \frac{1}{5}.

Passo 10

Finalmente obtenho x usando R_1 (primeira equação trocada no início):
x + 3y + 2z - w = 4.
Substituo y=\dfrac{1}{5}, z=\dfrac{13}{15}, w=\dfrac{13}{15}.
Calcule 3y = 3\cdot\frac{1}{5}=\frac{3}{5}=\frac{9}{15}. E 2z-w = 2\cdot\frac{13}{15}-\frac{13}{15}=\frac{13}{15}.
Então
x + \frac{9}{15} + \frac{13}{15} = 4 \quad\Rightarrow\quad x + \frac{22}{15} = 4.
Convertendo 4=\dfrac{60}{15}:
x = \frac{60}{15} - \frac{22}{15} = \frac{38}{15}.

Resposta

x=\dfrac{38}{15}
y=\dfrac{1}{5}
z=\dfrac{13}{15}
w=\dfrac{13}{15}

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