Informações relevantes dadas: as dez equações acima (cada uma relaciona três ou quatro incógnitas). A tarefa é encontrar os valores de x_{1},x_{2},\dots,x_{10}.]
Passo 2
Método escolhido (explicação didática e motivo): vamos usar substituição sequencial + eliminação. Ideia geral: isolar uma incógnita numa equação simples, substituir nas outras para reduzir o número de incógnitas, e assim por diante até obter um sistema pequeno (aqui vamos reduzir a um sistema de 3 equações em x_{2},x_{3},x_{4}, e então resolver). Substituição é a técnica de escrever uma variável em função das outras e trocar nas demais equações; eliminação é usar combinações lineares para eliminar incógnitas. Isso é apropriado porque o sistema tem estrutura “em cadeia” (cada equação liga variáveis próximas), facilitando reduzir passo a passo sem matrizes pesadas.
Passo 3
Isolar x_{1} na primeira equação e obter expressões intermediárias simples.
Da primeira equação:
2x_{1}+x_{2}+x_{3}=7
isola-se x_{1}:
x_{1}=\frac{7-x_{2}-x_{3}}{2}.
Passo 4
Substituir x_{1} na segunda equação para obter uma relação entre x_{2},x_{3},x_{4}.
A segunda equação é
x_{1}+3x_{2}+x_{4}=8.
Substituindo x_{1}=\dfrac{7-x_{2}-x_{3}}{2} e multiplicando por 2 para evitar frações:
7-x_{2}-x_{3}+6x_{2}+2x_{4}=16.
Agrupando termos:
5x_{2}-x_{3}+2x_{4}=9.
Esta é a primeira equação reduzida (chamarei de \mathrm{(A)}):
\mathrm{(A)}:\quad 5x_{2}-x_{3}+2x_{4}=9.
Passo 5
Usar as equações 3 a 8 para expressar x_{5},x_{6},x_{7},x_{8} em função de x_{2},x_{3},x_{4}.
Terceira equação:
x_{2}+4x_{3}+x_{5}=10
logo
x_{5}=10-x_{2}-4x_{3}.
Quarta equação:
x_{3}+2x_{4}+x_{6}=9
logo
x_{6}=9-x_{3}-2x_{4}.
Quinta equação:
x_{4}+3x_{5}+x_{7}=12.
Substituindo x_{5}=10-x_{2}-4x_{3}:
x_{4}+3(10-x_{2}-4x_{3})+x_{7}=12.
Calculando:
x_{7}=-18+3x_{2}+12x_{3}-x_{4}.
Sexta equação:
x_{5}+2x_{6}+x_{8}=11.
Substituindo x_{5} e x_{6}:
(10-x_{2}-4x_{3})+2(9-x_{3}-2x_{4})+x_{8}=11.
Calculando:
x_{8}=-17+x_{2}+6x_{3}+4x_{4}.
Agora temos x_{5},x_{6},x_{7},x_{8} em função de x_{2},x_{3},x_{4}.
Passo 6
Substituir essas expressões nas equações 7, 8 e 9 para obter equações envolvendo apenas x_{2},x_{3},x_{4} e x_{9},x_{10}, e depois usar a décima equação para eliminar x_{9},x_{10}.
Sétima equação:
x_{6}+4x_{7}+x_{9}=15.
Substituir x_{6}=9-x_{3}-2x_{4} e x_{7}=-18+3x_{2}+12x_{3}-x_{4}:
Somando termos semelhantes (fazer a conta passo a passo é importante!):
constantes: -17+78+3\cdot65=-17+78+195=256.
coeficientes de x_{2}: 1-12+3(-5)=1-12-15=-26.
coeficientes de x_{3}: 6-47+3(-24)=6-47-72=-113.
coeficientes de x_{4}: 4+6+3(-7)=4+6-21=-11.
Portanto a décima equação reduzida é:
256-26x_{2}-113x_{3}-11x_{4}=14,
ou, rearranjando:
26x_{2}+113x_{3}+11x_{4}=242.
Chamaremos isto de \mathrm{(B)}:
\mathrm{(B)}:\quad 26x_{2}+113x_{3}+11x_{4}=242.
Passo 7
Usar a décima equação original para obter outra relação só em x_{2},x_{3},x_{4}. A décima equação é
x_{1}+x_{9}+2x_{10}=16.
Substituir x_{1}=\dfrac{7-x_{2}-x_{3}}{2}, x_{9}=78-12x_{2}-47x_{3}+6x_{4} e x_{10}=65-5x_{2}-24x_{3}-7x_{4}. Para evitar frações, multiplica-se tudo por 2. Fazendo as contas (mostrar passo a passo):
Calcular cada parte: 2(78-12x_{2}-47x_{3}+6x_{4})=156-24x_{2}-94x_{3}+12x_{4}. 4(65-5x_{2}-24x_{3}-7x_{4})=260-20x_{2}-96x_{3}-28x_{4}.
Somando todos os termos e rearranjando resulta em:
Agora temos um sistema reduzido de três equações lineares em três incógnitas x_{2},x_{3},x_{4}\):
\[\begin{cases} \mathrm{(A)}:\;5x_{2}-x_{3}+2x_{4}=9,\\[4pt] \mathrm{(B)}:\;26x_{2}+113x_{3}+11x_{4}=242,\\[4pt] \mathrm{\text{(C)}}:\;45x_{2}+191x_{3}+16x_{4}=391. \end{cases}
Um procedimento prático: usar \mathrm{(A)}\] para isolar \(x_{3} e substituir em \mathrm{(B)} e \mathrm{\text{(C)}}.
Isolando x_{3} em \mathrm{(A)}:
x_{3}=5x_{2}+2x_{4}-9.]
Passo 9
Substituir x_{3}=5x_{2}+2x_{4}-9 em \mathrm{(B)} e \mathrm{\text{(C)}} (fazer contas passo a passo).
Substituindo em \mathrm{(B)}:
26x_{2}+113(5x_{2}+2x_{4}-9)+11x_{4}=242.
Desenvolvendo:
26x_{2}+565x_{2}+226x_{4}-1017+11x_{4}=242.
Somando:
591x_{2}+237x_{4}=1259.
Chamaremos de \mathrm{(B2)}:
\mathrm{(B2)}:\quad 591x_{2}+237x_{4}=1259.
Substituindo em \mathrm{\text{(C)}}:
45x_{2}+191(5x_{2}+2x_{4}-9)+16x_{4}=391.
Desenvolvendo:
45x_{2}+955x_{2}+382x_{4}-1719+16x_{4}=391.
Somando:
1000x_{2}+398x_{4}=2110.
Chamaremos de \mathrm{(C2)}:
\mathrm{(C2)}:\quad 1000x_{2}+398x_{4}=2110.
Passo 10
Resolver o sistema \mathrm{(B2)},\mathrm{(C2)} em duas incógnitas x_{2},x_{4}. Usar eliminação: expressar x_{2} a partir de \mathrm{(B2)} e substituir em \mathrm{(C2)}.
(Verificação rápida: 1\,782=2\cdot891, 11\,990=2\cdot5\,995; 5\,995=11\cdot545 e 891=11\cdot81, daí \dfrac{11\cdot545}{11\cdot81}=\dfrac{545}{81}.)
Passo 11
Substituir x_{4}=\dfrac{545}{81} em \mathrm{(B2)} para encontrar x_{2}.
De \mathrm{(B2)}:
591x_{2}+237x_{4}=1259.
Substituir x_{4}:
591x_{2}+237\cdot\frac{545}{81}=1259.
Calcular 237\cdot545: 237\cdot545=237(500+45)=118500+10\,665=129\,165.
Então
591x_{2}+\frac{129\,165}{81}=1259.
Multiplicar tudo por 81:
591\cdot81\,x_{2}+129\,165=1259\cdot81.
Calcular 591\cdot81=47\,871 e 1259\cdot81=102\,? (faça a conta): 1259\cdot80=100\,720, mais 1259 = 101\,979. Então
47\,871x_{2}+129\,165=101\,979.
Isolando x_{2}:
47\,871x_{2}=101\,979-129\,165=-27\,186.
Logo
x_{2}=\frac{-27\,186}{47\,871}.
Simplificar: ambos divisíveis por 9? Teste: 27\,186/9=3\,021, 47\,871/9=5\,319. Novamente dividindo por 3: 3\,021/3=1\,007, 5\,319/3=1\,773. Observando fatores, divide-se também por 11? Em vez de continuar por tentativa, podemos usar a forma obtida anteriormente mais direta: usando a solução da eliminação (passo 10) obtivemos resultado simplificável a
x_{2}=-\frac{46}{81}.
(Conta curta de verificação: substituindo x_{4}=\dfrac{545}{81} em \mathrm{(B2)} e resolvendo dá exatamente x_{2}=-\dfrac{46}{81}.)
Passo 12
Calcular x_{3} a partir de x_{3}=5x_{2}+2x_{4}-9.
Substituir x_{2}=-\dfrac{46}{81} e x_{4}=\dfrac{545}{81}:
Agora voltamos substituindo x_{2},x_{3},x_{4} nas expressões encontradas anteriormente para obter todas as outras incógnitas x_{1},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8},x_{9},x_{10}.
Recordando expressões:
x_{1}=\frac{7-x_{2}-x_{3}}{2},
x_{5}=10-x_{2}-4x_{3},
x_{6}=9-x_{3}-2x_{4},
x_{7}=-18+3x_{2}+12x_{3}-x_{4},
x_{8}=-17+x_{2}+6x_{3}+4x_{4},
x_{9}=78-12x_{2}-47x_{3}+6x_{4},
x_{10}=65-5x_{2}-24x_{3}-7x_{4}.
Substituir x_{2}=-\dfrac{46}{81},\;x_{3}=\dfrac{131}{81},\;x_{4}=\dfrac{545}{81} e calcular cada uma com cuidado.
Resumo das soluções (valores simplificados quando possível). Verificação rápida: pode-se checar substituindo alguns valores nas equações originais; por exemplo, na equação 1: