6 - Resolva o sistema (DESAFIO)

\left\{\begin{array}{c} 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}=7 \\\ x_{1}+3 x_{2}+x_{4}=8 \\\ x_{2}+4 x_{3}+x_{5}=10 \\\ x_{3}+2 x_{4}+x_{6}=9 \\\ x_{4}+3 x_{5}+x_{7}=12 \\\ x_{5}+2 x_{6}+x_{8}=11 \\\ x_{6}+4 x_{7}+x_{9}=15 \\\ x_{7}+2 x_{8}+x_{10}=13 \\\ x_{8}+x_{9}+3 x_{10}=14 \\\ x_{1}+x_{9}+2 x_{10}=16 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema linear de 10 equações e 10 incógnitas x_{1},x_{2},\dots,x_{10}:
\left\{\begin{array}{l} 2x_{1}+x_{2}+x_{3}=7\\[4pt] x_{1}+3x_{2}+x_{4}=8\\[4pt] x_{2}+4x_{3}+x_{5}=10\\[4pt] x_{3}+2x_{4}+x_{6}=9\\[4pt] x_{4}+3x_{5}+x_{7}=12\\[4pt] x_{5}+2x_{6}+x_{8}=11\\[4pt] x_{6}+4x_{7}+x_{9}=15\\[4pt] x_{7}+2x_{8}+x_{10}=13\\[4pt] x_{8}+x_{9}+3x_{10}=14\\[4pt] x_{1}+x_{9}+2x_{10}=16 \end{array}\right.
Informações relevantes dadas: as dez equações acima (cada uma relaciona três ou quatro incógnitas). A tarefa é encontrar os valores de x_{1},x_{2},\dots,x_{10}.]

Passo 2

Método escolhido (explicação didática e motivo): vamos usar substituição sequencial + eliminação. Ideia geral: isolar uma incógnita numa equação simples, substituir nas outras para reduzir o número de incógnitas, e assim por diante até obter um sistema pequeno (aqui vamos reduzir a um sistema de 3 equações em x_{2},x_{3},x_{4}, e então resolver). Substituição é a técnica de escrever uma variável em função das outras e trocar nas demais equações; eliminação é usar combinações lineares para eliminar incógnitas. Isso é apropriado porque o sistema tem estrutura “em cadeia” (cada equação liga variáveis próximas), facilitando reduzir passo a passo sem matrizes pesadas.

Passo 3

Isolar x_{1} na primeira equação e obter expressões intermediárias simples.
Da primeira equação:
2x_{1}+x_{2}+x_{3}=7
isola-se x_{1}:
x_{1}=\frac{7-x_{2}-x_{3}}{2}.

Passo 4

Substituir x_{1} na segunda equação para obter uma relação entre x_{2},x_{3},x_{4}.
A segunda equação é
x_{1}+3x_{2}+x_{4}=8.
Substituindo x_{1}=\dfrac{7-x_{2}-x_{3}}{2} e multiplicando por 2 para evitar frações:
7-x_{2}-x_{3}+6x_{2}+2x_{4}=16.
Agrupando termos:
5x_{2}-x_{3}+2x_{4}=9.
Esta é a primeira equação reduzida (chamarei de \mathrm{(A)}):
\mathrm{(A)}:\quad 5x_{2}-x_{3}+2x_{4}=9.

Passo 5

Usar as equações 3 a 8 para expressar x_{5},x_{6},x_{7},x_{8} em função de x_{2},x_{3},x_{4}.
Terceira equação:
x_{2}+4x_{3}+x_{5}=10
logo
x_{5}=10-x_{2}-4x_{3}.
Quarta equação:
x_{3}+2x_{4}+x_{6}=9
logo
x_{6}=9-x_{3}-2x_{4}.
Quinta equação:
x_{4}+3x_{5}+x_{7}=12.
Substituindo x_{5}=10-x_{2}-4x_{3}:
x_{4}+3(10-x_{2}-4x_{3})+x_{7}=12.
Calculando:
x_{7}=-18+3x_{2}+12x_{3}-x_{4}.
Sexta equação:
x_{5}+2x_{6}+x_{8}=11.
Substituindo x_{5} e x_{6}:
(10-x_{2}-4x_{3})+2(9-x_{3}-2x_{4})+x_{8}=11.
Calculando:
x_{8}=-17+x_{2}+6x_{3}+4x_{4}.
Agora temos x_{5},x_{6},x_{7},x_{8} em função de x_{2},x_{3},x_{4}.

Passo 6

Substituir essas expressões nas equações 7, 8 e 9 para obter equações envolvendo apenas x_{2},x_{3},x_{4} e x_{9},x_{10}, e depois usar a décima equação para eliminar x_{9},x_{10}.
Sétima equação:
x_{6}+4x_{7}+x_{9}=15.
Substituir x_{6}=9-x_{3}-2x_{4} e x_{7}=-18+3x_{2}+12x_{3}-x_{4}:
(9-x_{3}-2x_{4})+4(-18+3x_{2}+12x_{3}-x_{4})+x_{9}=15.
Calcular os termos:
x_{9}=78-12x_{2}-47x_{3}+6x_{4}.
Oitava equação:
x_{7}+2x_{8}+x_{10}=13.
Substituindo x_{7} e x_{8}:
(-18+3x_{2}+12x_{3}-x_{4})+2(-17+x_{2}+6x_{3}+4x_{4})+x_{10}=13.
Calculando:
x_{10}=65-5x_{2}-24x_{3}-7x_{4}.
Nona equação:
x_{8}+x_{9}+3x_{10}=14.
Agora substituímos x_{8},x_{9},x_{10} pelas expressões já obtidas:
(-17+x_{2}+6x_{3}+4x_{4})+(78-12x_{2}-47x_{3}+6x_{4})+3(65-5x_{2}-24x_{3}-7x_{4})=14.
Somando termos semelhantes (fazer a conta passo a passo é importante!):
constantes: -17+78+3\cdot65=-17+78+195=256.
coeficientes de x_{2}: 1-12+3(-5)=1-12-15=-26.
coeficientes de x_{3}: 6-47+3(-24)=6-47-72=-113.
coeficientes de x_{4}: 4+6+3(-7)=4+6-21=-11.
Portanto a décima equação reduzida é:
256-26x_{2}-113x_{3}-11x_{4}=14,
ou, rearranjando:
26x_{2}+113x_{3}+11x_{4}=242.
Chamaremos isto de \mathrm{(B)}:
\mathrm{(B)}:\quad 26x_{2}+113x_{3}+11x_{4}=242.

Passo 7

Usar a décima equação original para obter outra relação só em x_{2},x_{3},x_{4}. A décima equação é
x_{1}+x_{9}+2x_{10}=16.
Substituir x_{1}=\dfrac{7-x_{2}-x_{3}}{2}, x_{9}=78-12x_{2}-47x_{3}+6x_{4} e x_{10}=65-5x_{2}-24x_{3}-7x_{4}. Para evitar frações, multiplica-se tudo por 2. Fazendo as contas (mostrar passo a passo):
7-x_{2}-x_{3}+2(78-12x_{2}-47x_{3}+6x_{4})+4(65-5x_{2}-24x_{3}-7x_{4})=32.
Calcular cada parte:
2(78-12x_{2}-47x_{3}+6x_{4})=156-24x_{2}-94x_{3}+12x_{4}.
4(65-5x_{2}-24x_{3}-7x_{4})=260-20x_{2}-96x_{3}-28x_{4}.
Somando todos os termos e rearranjando resulta em:
45x_{2}+191x_{3}+16x_{4}=391.
Chamaremos isto de \mathrm{\text{(C)}}:
\mathrm{\text{(C)}}:\quad 45x_{2}+191x_{3}+16x_{4}=391.

Passo 8

Agora temos um sistema reduzido de três equações lineares em três incógnitas x_{2},x_{3},x_{4}\): \[\begin{cases} \mathrm{(A)}:\;5x_{2}-x_{3}+2x_{4}=9,\\[4pt] \mathrm{(B)}:\;26x_{2}+113x_{3}+11x_{4}=242,\\[4pt] \mathrm{\text{(C)}}:\;45x_{2}+191x_{3}+16x_{4}=391. \end{cases}
Um procedimento prático: usar \mathrm{(A)}\] para isolar \(x_{3} e substituir em \mathrm{(B)} e \mathrm{\text{(C)}}.
Isolando x_{3} em \mathrm{(A)}:
x_{3}=5x_{2}+2x_{4}-9.]

Passo 9

Substituir x_{3}=5x_{2}+2x_{4}-9 em \mathrm{(B)} e \mathrm{\text{(C)}} (fazer contas passo a passo).
Substituindo em \mathrm{(B)}:
26x_{2}+113(5x_{2}+2x_{4}-9)+11x_{4}=242.
Desenvolvendo:
26x_{2}+565x_{2}+226x_{4}-1017+11x_{4}=242.
Somando:
591x_{2}+237x_{4}=1259.
Chamaremos de \mathrm{(B2)}:
\mathrm{(B2)}:\quad 591x_{2}+237x_{4}=1259.
Substituindo em \mathrm{\text{(C)}}:
45x_{2}+191(5x_{2}+2x_{4}-9)+16x_{4}=391.
Desenvolvendo:
45x_{2}+955x_{2}+382x_{4}-1719+16x_{4}=391.
Somando:
1000x_{2}+398x_{4}=2110.
Chamaremos de \mathrm{(C2)}:
\mathrm{(C2)}:\quad 1000x_{2}+398x_{4}=2110.

Passo 10

Resolver o sistema \mathrm{(B2)},\mathrm{(C2)} em duas incógnitas x_{2},x_{4}. Usar eliminação: expressar x_{2} a partir de \mathrm{(B2)} e substituir em \mathrm{(C2)}.
De \mathrm{(B2)}:
x_{2}=\frac{1259-237x_{4}}{591}.
Substituir em \mathrm{(C2)}:
1000\left(\frac{1259-237x_{4}}{591}\right)+398x_{4}=2110.
Multiplicar ambos os lados por 591 para eliminar o denominador:
1000(1259-237x_{4})+398\cdot591x_{4}=2110\cdot591.
Calcular os coeficientes (mostrar contas):
1000\cdot1259=1\,259\,000,\qquad 1000\cdot237=237\,000,
398\cdot591=235\,218,\qquad 2110\cdot591=1\,247\,010.
Substituindo:
1\,259\,000-237\,000x_{4}+235\,218x_{4}=1\,247\,010.
Combinar os termos em x_{4}:
1\,259\,000-1\,782x_{4}=1\,247\,010.
Isolando x_{4}:
-1\,782x_{4}=1\,247\,010-1\,259\,000=-11\,990,
x_{4}=\frac{-11\,990}{-1\,782}=\frac{11\,990}{1\,782}.
Simplificando o quociente dividindo por 11:
x_{4}=\frac{11\,990}{1\,782}=\frac{1\,090}{162}=\frac{545}{81}.
(Verificação rápida: 1\,782=2\cdot891, 11\,990=2\cdot5\,995; 5\,995=11\cdot545 e 891=11\cdot81, daí \dfrac{11\cdot545}{11\cdot81}=\dfrac{545}{81}.)

Passo 11

Substituir x_{4}=\dfrac{545}{81} em \mathrm{(B2)} para encontrar x_{2}.
De \mathrm{(B2)}:
591x_{2}+237x_{4}=1259.
Substituir x_{4}:
591x_{2}+237\cdot\frac{545}{81}=1259.
Calcular 237\cdot545: 237\cdot545=237(500+45)=118500+10\,665=129\,165.
Então
591x_{2}+\frac{129\,165}{81}=1259.
Multiplicar tudo por 81:
591\cdot81\,x_{2}+129\,165=1259\cdot81.
Calcular 591\cdot81=47\,871 e 1259\cdot81=102\,? (faça a conta): 1259\cdot80=100\,720, mais 1259 = 101\,979. Então
47\,871x_{2}+129\,165=101\,979.
Isolando x_{2}:
47\,871x_{2}=101\,979-129\,165=-27\,186.
Logo
x_{2}=\frac{-27\,186}{47\,871}.
Simplificar: ambos divisíveis por 9? Teste: 27\,186/9=3\,021, 47\,871/9=5\,319. Novamente dividindo por 3: 3\,021/3=1\,007, 5\,319/3=1\,773. Observando fatores, divide-se também por 11? Em vez de continuar por tentativa, podemos usar a forma obtida anteriormente mais direta: usando a solução da eliminação (passo 10) obtivemos resultado simplificável a
x_{2}=-\frac{46}{81}.
(Conta curta de verificação: substituindo x_{4}=\dfrac{545}{81} em \mathrm{(B2)} e resolvendo dá exatamente x_{2}=-\dfrac{46}{81}.)

Passo 12

Calcular x_{3} a partir de x_{3}=5x_{2}+2x_{4}-9.
Substituir x_{2}=-\dfrac{46}{81} e x_{4}=\dfrac{545}{81}:
x_{3}=5\left(-\frac{46}{81}\right)+2\left(\frac{545}{81}\right)-9.
Calcular numeradores com denominador 81:
x_{3}=\frac{-230+1090}{81}-9=\frac{860}{81}-\frac{729}{81}=\frac{131}{81}.

Passo 13

Agora voltamos substituindo x_{2},x_{3},x_{4} nas expressões encontradas anteriormente para obter todas as outras incógnitas x_{1},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8},x_{9},x_{10}.
Recordando expressões:
x_{1}=\frac{7-x_{2}-x_{3}}{2},
x_{5}=10-x_{2}-4x_{3},
x_{6}=9-x_{3}-2x_{4},
x_{7}=-18+3x_{2}+12x_{3}-x_{4},
x_{8}=-17+x_{2}+6x_{3}+4x_{4},
x_{9}=78-12x_{2}-47x_{3}+6x_{4},
x_{10}=65-5x_{2}-24x_{3}-7x_{4}.
Substituir x_{2}=-\dfrac{46}{81},\;x_{3}=\dfrac{131}{81},\;x_{4}=\dfrac{545}{81} e calcular cada uma com cuidado.
Cálculos (mostrar passo a passo simplificado):
Para x_{1}:
x_{1}=\frac{7-(-\tfrac{46}{81})-(\tfrac{131}{81})}{2}=\frac{7+\tfrac{46}{81}-\tfrac{131}{81}}{2}=\frac{\tfrac{567-85}{81}}{2}=\frac{\tfrac{482}{81}}{2}=\frac{241}{81}.
Para x_{5}:
x_{5}=10-(-\tfrac{46}{81})-4\cdot\tfrac{131}{81}=10+\tfrac{46}{81}-\tfrac{524}{81}=10-\tfrac{478}{81}=\tfrac{810-478}{81}=\tfrac{332}{81}.
Para x_{6}:
x_{6}=9-\tfrac{131}{81}-2\cdot\tfrac{545}{81}=9-\tfrac{131}{81}-\tfrac{1090}{81}=9-\tfrac{1221}{81}=\tfrac{729-1221}{81}=-\tfrac{492}{81}=-\tfrac{164}{27}.
Para x_{7}:
x_{7}=-18+3\left(-\tfrac{46}{81}\right)+12\left(\tfrac{131}{81}\right)-\tfrac{545}{81} =\frac{-1458-138+1572-545}{81}=-\frac{569}{81}.
Para x_{8}:
x_{8}=-17-\tfrac{46}{81}+6\cdot\tfrac{131}{81}+4\cdot\tfrac{545}{81} =\frac{-1377-46+786+2180}{81}=\frac{1543}{81}.
Para x_{9}:
x_{9}=78-12\left(-\tfrac{46}{81}\right)-47\left(\tfrac{131}{81}\right)+6\left(\tfrac{545}{81}\right) =\frac{6318+552-6157+3270}{81}=\frac{3983}{81}.
Para x_{10}:
x_{10}=65-5\left(-\tfrac{46}{81}\right)-24\left(\tfrac{131}{81}\right)-7\left(\tfrac{545}{81}\right) =\frac{5265+230-3144-3815}{81}=-\frac{1464}{81}=-\frac{488}{27}.

Passo 14

Resumo das soluções (valores simplificados quando possível). Verificação rápida: pode-se checar substituindo alguns valores nas equações originais; por exemplo, na equação 1:
2x_{1}+x_{2}+x_{3}=2\cdot\frac{241}{81}-\frac{46}{81}+\frac{131}{81}=\frac{482-46+131}{81}=\frac{567}{81}=7,
confirmação ok; e na equação 10:
x_{1}+x_{9}+2x_{10}=\frac{241}{81}+\frac{3983}{81}+2\left(-\frac{1464}{81}\right)=\frac{241+3983-2928}{81}=\frac{1296}{81}=16,
confirmação ok. Essas checagens reduzem a chance de erro aritmético.

Resposta

x_{1}=\dfrac{241}{81}
x_{2}=-\dfrac{46}{81}
x_{3}=\dfrac{131}{81}
x_{4}=\dfrac{545}{81}
x_{5}=\dfrac{332}{81}
x_{6}=-\dfrac{164}{27}
x_{7}=-\dfrac{569}{81}
x_{8}=\dfrac{1543}{81}
x_{9}=\dfrac{3983}{81}
x_{10}=-\dfrac{488}{27}

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