Calcule o determinante da matriz abaixo usando a Regra de Laplace pela 3^a linha:
[[1,2,3,0],[0,0,0,4],[-2,5,0,-1],[3,0,6,2]]
  • a) -24
    b) 18
    c) -30
    d) 12
    e) 6

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A= 1&2&3&0 0&0&0&4 -2&5&0&-1 3&0&6&2
usando a Regra de Laplace pela 3ª linha.
Conteúdo: determinante de matriz, cofactor, menor complementar e sinal .
O que vamos precisar:
  • A fórmula da Regra de Laplace
  • Saber extrair menores (submatrizes 3×3)
  • Calcular cada determinante 3×3 na unha

Passo 2

A Regra de Laplace pela linha det(A)=sumj=1^n(-1)^i+j,aij,detl(Mijr), diz:
det(A) =sumj=1^4(-1)^3+j,a3j,det(M3j) =underbrace(-1)^4(-2)det(M31)j=1 +underbrace(-1)^5(5)det(M32)j=2 +underbrace(-1)^6(0)det(M33)j=3 +underbrace(-1)^7(-1)det(M34)j=4
onde é a matriz que sobra ao eliminar a linha e a coluna .
Aqui , então

Passo 3

Vamos calcular cada termo:
  1. Para (-1)^3+1a31det(M31) =+1cdot(-2),det! 2&3&0 0&0&4 0&6&2 :
det(M31) =2cdotdet!0&46&2 -3cdotdet!0&40&2 +0cdotl(dotsr) =2(0cdot2-4cdot6)-3(0cdot2-4cdot0) =2(-24)-3(0) =-48
Esse 3×3 tem determinante (expansão pela 1ª linha):
(-1)^3+2a32det(M32) =-1cdot5,det! 1&3&0 0&0&4 3&6&2
Logo o termo é det(M32) =1cdotdet!0&46&2 -3cdotdet!0&43&2 +0cdotl(dotsr) =1(0cdot2-4cdot6)-3(0cdot2-4cdot3) =-24-3(-12) =-24+36 =12 .
  1. Para (-1)^3+4a34det(M34) =-1cdot(-1),det! 1&2&3 0&0&0 3&0&6 :
Determinante desse 3×3 (pela 1ª linha):
Então o termo é .
  1. Para : , então o termo é .
  2. Para :
Mas note que tem uma linha toda zero ( ), logo . O termo dá .

Passo 4

Somando tudo:
det(A)=96 + (-60) + 0 + 0 = 36

Resposta

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