Calcule a divisão de z1=5+i por z2=1-2 i, escrevendo o resultado na forma a+b i.

Passo 1

O exercício pide que a gente calcule a divisão de dois números complexos
z1 = 5 + i e z2 = 1 - 2i
Essto faz parte da matéria de números complexos, mais especificamente de como dividir complexos. Para resolver, vamos precisar usar o conceito de conjugado de um número complexo e a propriedade básica .

Passo 2

Escrevendo a divisão que queremos:
z1z2 = 5 + i1 - 2i
Como não dá pra deixar denominador com “ ”, a técnica é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado de , que é .

Passo 3

Multiplicamos em cima e embaixo por 5+i1-2i times 1+2i1+2i = (5+i)(1+2i)(1-2i)(1+2i) :

Passo 4

Vamos expandir o numerador usando distributiva e lembrar que (5+i)(1+2i) = 5cdot1 + 5cdot2i + icdot1 + icdot2i = 5 + 10i + i + 2i^2 = 5 + 11i + 2(-1) = 5 + 11i - 2 = 3 + 11i :
(1-2i)(1+2i) = 1^2 - (2i)^2 = 1 - 4i^2 = 1 - 4(-1) = 1 + 4 = 5
No denominador, percebemos uma diferença de quadrados:

Passo 5

Agora é só dividir a parte real e a parte imaginária de 3 + 11i5 = 35 + 115,i por :

Resposta

5 + i1 - 2i = 35 + 115,i

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