A equação diferencial
descreve o movimento angular de um pêndulo de comprimento L. Para ângulos iniciais pequenos, costuma-se usar a aproximação
. Sendo
e
, compare graficamente, usando o método de Runge-Kutta de quarta ordem com
, o movimento do pêndulo durante 3 períodos de oscilação, considerando:
a equação acima;
a equação acima;
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem um pêndulo descrito pela EDO de 2ª ordem
com condições iniciais
,
,
,
.
O conteúdo é “sistemas de EDO” e “método de Runge–Kutta 4ª ordem”. Vamos precisar:
O conteúdo é “sistemas de EDO” e “método de Runge–Kutta 4ª ordem”. Vamos precisar:
- Converter em sistema de 1ª ordem;
- Calcular o período de oscilação;
- Implementar o RK4 com passo
até ; - Gerar o gráfico de
.
Passo 2
Antes de tudo, transforme a EDO de 2ª ordem num sistema de 1ª ordem. Define
Então o sistema fica
As condições iniciais viram
,
.
Passo 3
Agora vamos recordar o passo a passo do Runge–Kutta 4ª ordem para um sistema
.
Se
é a aproximação em
, o RK4 manda calcular:
No nosso caso
e
[
f(t,
)
.
]
]
Passo 4
Vamos achar o período teórico
(pequenos ângulos) para saber até quando integrar:
Então
.
Passo 5
Com tudo pronto, a “receita” de iteração é:
- Escolher
, passos. - Para
: - Calcular
usando as fórmulas do Passo 3. - Atualizar
.
- Calcular
- Guardar
pra fazer o gráfico.
Passo 6
Depois de rodar isso num código (Matlab/Python etc.), você plota
de
até
.
No mesmo gráfico, se quiser comparar com a aproximação , basta trocar
por no mesmo loop e desenhar as duas curvas.
No mesmo gráfico, se quiser comparar com a aproximação , basta trocar
por
Resposta
Ao fim, o gráfico mostra duas curvas quase iguais (porque
é pequeno), com a amplitude praticamente constante e as fases coincidentes. A diferença começa a aparecer bem de leve após uns 2–3 segundos, mas a oscilação segue com período
e amplitude
.