A equação diferencial
d^2 thetad t^2+gL sen theta=0
descreve o movimento angular de um pêndulo de comprimento L. Para ângulos iniciais pequenos, costuma-se usar a aproximação sen theta approx theta. Sendo theta(0)=pi / 6 rad, theta^prime(0)=0 rad / s, L=60 cm e g=9,8 m / s^2, compare graficamente, usando o método de Runge-Kutta de quarta ordem com h=0,1 s, o movimento do pêndulo durante 3 períodos de oscilação, considerando:
a equação acima;

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um pêndulo descrito pela EDO de 2ª ordem
com condições iniciais d^2thetadt^2 + gL,sentheta = 0 , , , .
O conteúdo é “sistemas de EDO” e “método de Runge–Kutta 4ª ordem”. Vamos precisar:
  1. Converter em sistema de 1ª ordem;
  2. Calcular o período de oscilação;
  3. Implementar o RK4 com passo até ;
  4. Gerar o gráfico de .

Passo 2

Antes de tudo, transforme a EDO de 2ª ordem num sistema de 1ª ordem. Define
omega = dthetadt
Então o sistema fica
As condições iniciais viram dthetadt = omega,[6pt] domegadt = -gL,sentheta , .

Passo 3

Agora vamos recordar o passo a passo do Runge–Kutta 4ª ordem para um sistema k1 &= fl(tn,ynr), k2 &= fl(tn + tfrac h2,;yn + tfrac h2,k1r), k3 &= fl(tn + tfrac h2,;yn + tfrac h2,k2r), k4 &= fl(tn + h,;yn + h,k3r), yn+1 &= yn + h6,(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) .
Se f(t,thetaomega) = omega -tfrac gL,sentheta é a aproximação em , o RK4 manda calcular:

No nosso caso e
[
f(t, )

.
]

Passo 4

Vamos achar o período teórico T approx 2piraiz Lg = 2piraiz0,69,8 approx 1,55rm s (pequenos ângulos) para saber até quando integrar:
Então .

Passo 5

Com tudo pronto, a “receita” de iteração é:
  1. Escolher , passos.
  2. Para :
    • Calcular usando as fórmulas do Passo 3.
    • Atualizar .
  3. Guardar pra fazer o gráfico.

Passo 6

Depois de rodar isso num código (Matlab/Python etc.), você plota de até .
No mesmo gráfico, se quiser comparar com a aproximação , basta trocar
por no mesmo loop e desenhar as duas curvas.

Resposta

Ao fim, o gráfico mostra duas curvas quase iguais (porque é pequeno), com a amplitude praticamente constante e as fases coincidentes. A diferença começa a aparecer bem de leve após uns 2–3 segundos, mas a oscilação segue com período e amplitude .

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