Seja z=3+4. Calcule o conjugado de z e verifique que z cdot barz=|z|^2.

Passo 1

Beleza, a questão diz: “Seja . Calcule o conjugado de e verifique que .”
Isso é sobre números complexos. A gente vai precisar:
  • Saber o que é conjugado de um complexo (troca o sinal da parte imaginária).
  • Saber o que é módulo de um complexo ( ).
  • Fazer contas básicas de produto de binômios e usar .

Passo 2

Conjugado de um complexo
Se barz = 3 - 4i , então .
Aqui e , logo

Passo 3

Módulo de um complexo
Por definição, se |z| = raiza^2 + b^2 , então
|z| = raiz3^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5
No nosso caso,
Daí .

Passo 4

Produto z cdot barz = (3 + 4i),(3 - 4i)
Vamos multiplicar:
(3 + 4i)(3 - 4i) = 3cdot3 + 3cdot(-4i) + 4icdot3 + 4icdot(-4i) = 9 - 12i + 12i - 16,i^2
Distribuindo (regra do produto de binômios e lembrando 9 - 16(-1) = 9 + 16 = 25 ):
Como e , fica:

Resposta

z cdot barz = 25 e |z|^2 = 25, e de fato
mostrando que .

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